Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории

Грин Брайан

Рис. 3.1.Линейка Слима укорачивается, так как она прикладывается вдоль направления движения круга. Линейка же Джима лежит вдоль радиуса круга, перпендикулярно направлению движения, и поэтому её длина не уменьшается

Ну, а что насчёт радиуса? Джим использует тот же метод определения радиуса, и нам, с высоты птичьего полёта, видно, что он получит такое же значение, которое получили мы. Причина состоит в том, что его рулетка располагается не по мгновенному направлению движения круга (как было при измерении длины окружности). Она направлена под углом 90 градусов к направлению движения и поэтому не сокращаетсяв направлении своей длины. Следовательно, Джим получит точно такое же значение величины радиуса, какое получили мы.

Но

теперь, рассчитав отношение длины окружности колеса к его радиусу, Слим и Джим получат число, которое будет превышать полученное нами значение 2 , поскольку у них длина окружности оказалась больше, а радиус остался тем же самым. Что за чудеса? Как может быть, чтобы для какой-нибудь фигуры в форме окружности нарушалось установленное ещё древними греками правило, согласно которому для любой окружности это отношение в точности равно 2 ?

Вот объяснение Эйнштейна. Результат древних греков справедлив для окружностей, нарисованных на плоской поверхности. Но подобно тому, как кривые зеркала в парке развлечений искажают нормальную пространственную структуру вашего отражения, так и пространственная форма окружности исказится, если она будет нарисована на искривлённой или деформированной поверхности: отношение длины окружности к радиусу для такой окружности, как правило, не будетравно 2 .

В качестве примера на рис. 3.2 приведены три окружности одинакового радиуса. Длины этих окружностей различны. Длина окружности ( б), нарисованной на искривлённой поверхности сферы, меньше длины окружности ( а), нарисованной на плоской поверхности, несмотря на то, что они имеют одинаковый радиус. Искривлённый характер поверхности сферы приводит к тому, что радиальные линии, проведённые из центра, слегка сходятся друг к другу, приводя к небольшому уменьшению длины окружности. Длина окружности ( в), нарисованной на седловидной искривлённой поверхности, больше, чем длина окружности, изображённой на плоской поверхности. Свойства кривизны седловидной поверхности приводят к тому, что радиальные линии слегка расходятся, вызывая небольшое увеличение длины окружности. Эти наблюдения показывают, что отношение длины окружности к радиусу для ( б) будет меньше, чем 2 , а для ( в) — больше, чем 2 . Но отклонения от значения 2 , особенно в сторону увеличения, как в примере ( в), — это как раз то, что было обнаружено в случае вращающегося аттракциона. Подобные наблюдения привели Эйнштейна к идее, что нарушение «обычной», евклидовой геометрии объясняется кривизной пространства. Плоская геометрия древних греков, которой тысячи лет учат школьников, попросту не применима к объектам на вращающемся круге. Вместо этого здесь имеет место её обобщение на случай искривлённого пространства, схематически показанное на рис. 3.2 в. ^{16}

Рис. 3.2.Окружность, нарисованная на поверхности сферы ( б), имеет меньшую длину, чем окружность, нарисованная на плоском листе бумаги ( а), а окружность, начерченная на седлообразной поверхности ( в), будет иметь большую длину, несмотря на то, что все три имеют одинаковый радиус

Итак, Эйнштейн понял, что установленные древними греками привычные пространственные геометрические отношения, которые верны для «плоских» пространственных фигур, таких, как окружность на плоском столе, не выполняютсяс точки зрения наблюдателя, испытывающего ускорение. Конечно, мы рассмотрели здесь только один, конкретный вид ускоренного движения, но Эйнштейн показал, что аналогичный результат — искривление пространства — справедлив для всех случаев ускоренного движения.

В действительности, ускоренное движение приводит не только к искривлению пространства, но и к аналогичному искривлению времени. (Исторически Эйнштейн сначала сосредоточил внимание на кривизне времени, и только потом осознал важность кривизны пространства. ^{17} ) То, что время также подвергается искривлению, неудивительно — в главе 2 мы уже видели, что специальная теория относительности провозглашает союз пространства и времени. Это слияние было подытожено поэтическими словами Минковского, который на лекции по специальной теории относительности в 1908 г. сказал: «Отныне пространство и время, рассматриваемые отдельно и независимо, обращаются в тени и только их соединение сохраняет самостоятельность». ^{18} Пользуясь более приземлённым, но столь же вольным языком, можно сказать, что сплетая пространство и время в единую ткань пространства-времени, специальная теория относительности провозглашает: «То, что истинно для пространства, то истинно и для времени». Однако здесь возникает вопрос. Мы можем представить себе искривлённое пространство, зная, как искривлена его форма, но что мы имеем в виду, говоря о кривизне времени?

Для того чтобы нащупать ответ, ещё раз посадим Слима и Джима на аттракцион и попросим их провести следующий эксперимент. Слим будет стоять на краю радиального отрезка спиной к кругу, а Джим будет медленно ползти к нему вдоль этого радиуса от центра круга. Через каждые несколько метров Джим будет останавливаться, и они будут сравнивать показания своих часов. Что они увидят? Наблюдая со своей позиции с высоты птичьего полёта, мы снова сможем предсказать ответ. Их часы будут расходиться в показаниях. Мы пришли к этому выводу потому, что увидели, что Слим и Джим движутся с разной скоростью — при движении на аттракционе чем дальше от центра вы находитесь, тем большее расстояние должны пройти для того, чтобы совершить один оборот и, следовательно, тем быстрее вы движетесь. Но, согласно специальной теории относительности, чем быстрее вы движетесь, тем медленнее идут ваши часы — из этого мы заключаем, что часы Слима будут идти медленнее, чем часы Джима. Далее, Слим и Джим обнаружат, что по мере того как Джим будет приближаться к Слиму, его часы будут идти всё медленнее, и скорость их хода будет становиться такой же, как у часов Слима. Это отражает тот факт, что по мере приближения Джима к краю круга, его скорость приближается к скорости Слима.

Мы приходим к выводу, что для наблюдателей на вращающемся круге, таких как Слим и Джим, скорость течения времени зависит от их положения — в нашем случае от их расстояния до центра круга. Это является иллюстрацией того, что мы понимаем под кривизной времени. Время искривлено, если скорость его хода изменяется от одной точки к другой. Важно подчеркнуть, что Джим заметит кое-что ещё, когда будет ползти вдоль радиуса. Он почувствует возрастающую силу, выталкивающую его с круга, поскольку не только скорость, но и ускорение увеличиваются по мере удаления от центра круга. Используя наш аттракцион, мы видим, что большее ускорение связано с более сильным замедлением хода часов, — т. е. большее ускорение приводит к более значительному искривлению времени.

Эти наблюдения дали возможность Эйнштейну сделать заключительный шаг. Поскольку он уже показал, что гравитацию и ускоренное движение нельзя по существу различить, и поскольку, как он показал теперь, ускоренное движение связано с искривлением пространства и времени, он сделал следующее предположение о внутреннем содержании «чёрного ящика» гравитации, механизме, с помощью которого действует гравитация. Согласно Эйнштейну, гравитация представляет собойискривление пространства и времени. Посмотрим, что это означает.

Основы общей теории относительности

Чтобы почувствовать, в чём суть нового представления о гравитации, рассмотрим типичную ситуацию, в которой планета типа нашей Земли вращается вокруг звезды, похожей на наше Солнце. В ньютоновской теории гравитации Солнце удерживает Землю на некоей неопределяемой «привязи», которая каким-то образом мгновенно преодолевает огромные расстояния в пространстве и захватывает Землю (аналогичным образом и Земля захватывает Солнце). Эйнштейн предложил новую концепцию того, что происходит. Нам будет удобнее обсуждать подход Эйнштейна, имея конкретную наглядную модель пространства-времени, которой было бы удобно манипулировать. Для этого сделаем два упрощения. Во-первых, на какое-то время забудем о времени и сконцентрируемся исключительно на наглядной модели пространства. Позже мы вновь включим время в наше обсуждение. Во-вторых, для того, чтобы иметь возможность рисовать модели и размещать рисунки на страницах этой книги, мы часто будем использовать двумерные аналоги трёхмерного пространства. Большинство выводов, которые мы получим, работая с моделями более низких размерностей, непосредственно применимо к физической трёхмерной среде, поэтому более простые модели представляют собой прекрасные средства для объяснения и обучения.

Используя эти упрощения, мы изобразили на рис. 3.3 двумерную модель области нашей Вселенной. Координатная сетка удобна для указания положения, точно так же, как сеть улиц позволяет описать местонахождение в городе. При задании адреса в городе, кроме положения на двумерной сетке улиц, указывается также положение по вертикали, например, указание этажа. Для облегчения визуального восприятия будем отбрасывать третье измерение в наших двумерных моделях.

Рис. 3.3.Схематическое представление плоского пространства