Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел
Шрифт:
В Коллегии Карла Гаусс начал некоторые математические исследования, связанные с распределением простых чисел и основами геометрии. Прогресс ученого, должно быть, удовлетворял герцога, который из года в год увеличивал финансовую поддержку.
Осенью 1795 года, в возрасте 18 лет, Гаусс оставил родной Брауншвейг и переехал в Гёттинген, маленький ганноверский город, известный благодаря своему университету.
Юноша отправился в путешествие вопреки желанию герцога Брауншвейгского, который хотел, чтобы его подопечный продолжал обучение в местном университете в Хельмштедте. Но несмотря на это меценат продолжил оказывать Гауссу финансовую поддержку. Гёттингенский университет носил имя Георга Августа — в честь короля Англии Георга II, который также был курфюрстом Ганновера. Храм наук был задуман по модели Оксфорда и Кембриджа, что означало большую независимость от церковного влияния и лучшее качество образования. Гаусс получил свободу в своих академических обязанностях и мог самостоятельно выбирать предметы и наставников, что было очень
Гёттинген (нем. Gottingen) впервые упомянут как Gutingi в документе императора Священной Римской империи Оттона I. К началу XIII века Гёттинген уже обладал правами города. С 1584 года он принадлежал княжеству Брауншвейг-Вольфенбюттель, а в 1692 году перешел в подчинение княжеству Ганновер. Поскольку королева Великобритании Анна умерла, не оставив наследников, в 1714 году представитель ганноверской династии стал королем Великобритании под именем Георга I. С этого времени и до 1837 года интересы Ганновера и Великобритании совпадали, за исключением периода наполеоновских войн. В 1806 году княжество некоторое время находилось под контролем Пруссии, а в 1807-м вошло в состав королевства Вестфалия, созданного Наполеоном. Эти территориальные изменения были отменены после разгрома Наполеона, и в 1813 году Гёттинген вернулся под контроль Ганновера, ставшего в 1814 году королевством. Не считая этого периода, город, в котором поселился Гаусс, жил спокойной жизнью за средневековыми стенами. В эти годы в программе обучения университета преобладала теология, но к моменту назначения Гаусса преподавателем астрономии и директором городской обсерватории в 1807 году главными дисциплинами уже стали научные. Не стоит и говорить, что благодаря Гауссу этот университет получил широкую известность и привлекал студентов и ученых.
Слушатели Гёттингенского университета, где Гаусс учился, а затем был преподавателем. Гравюра по дереву на основе рисунка Роберта Гайсслера (1865).
Главным преподавателем математики в университете был 76-летний Готхельф Абрахам Кестнер (1719-1800), но так как он не посвящал себя математическим исследованиям, то так и не стал для Гаусса примером для подражания. В университете юноша завел знакомство со многими преподавателями, среди которых следует упомянуть физика Георга Лихтенберга (1742— 1799), астронома Карла Сейфера (1762-1822) и лингвиста Христиана Готлиба Гейне (1729-1812). Друзей среди студентов у Гаусса было немного, и одним из них стал Вольфганг фон Бойяи, дворянин из Трансильвании — провинции со значительной долей немецкого населения. Самый важный результат этой дружбы — переписка Гаусса и Бойяи, которая длилась больше 50 лет. Началась она в 1799 году, когда Гаусс покинул Гёттинген, и завершилась в 1853 году, за два года до смерти ученого.
Гаусс говорил о Бойяи: «Он был самым сложным по духу из тех, кого я когда-либо знал». Бойяи рассказывал об этой дружбе более подробно: «Нас объединяли страсть к математике и наши мысли, и мы гуляли долгие часы в тишине, каждый занятый собственными размышлениями».
Бойяи был единственным, кто смог понять мои метафизические критерии математики.
Карл Фридрих Гаусс о своем друге Вольфганге Бойяи
В течение трех лет в Гёттингене Гаусс совершенно самостоятельно формировал свою образовательную программу. В конце 1798 года он по неясным причинам покинул университет, но к этому времени уже успел разработать наиболее важные математические идеи, которые будут публиковаться в течение следующих 25 лет. Гаусс оставил Гёттинген, не получив диплома. Из его переписки с Бойяи мы знаем, что по просьбе герцога Брауншвейгского ученый в 1799 году послал свою докторскую диссертацию в Хельмштедтский университет. Степень была предоставлена ему заочно, без обычного устного экзамена.
Этот венгерский математик известен в Германии как Вольфганг Бойяи (1775-1856), и ему принадлежат в основном работы в области геометрии.
Главный труд Бойяи озаглавлен Tentamen iuventutem studiosam en elementa matheosos introducendi, и в нем прослеживается попытка ученого придать строгую и систематическую базу геометрии, арифметике, алгебре и анализу. В своей работе он изложил повторяющиеся процессы для решения уравнений. Проблема повторяющихся процессов в решении математических задач состоит в следующем: не всегда можно гарантировать, что число повторений будет конечным; когда метод может гарантировать это, говорят, что он сходящийся. Процедуры, описанные Бойяи, были именно такими. Другое важное значение его работы состоит в том, что она включала определение равенства двух плоских фигур, если обе они могут быть поделены на конечное число эквивалентных частей, что отражено в теореме Бойяи — Гервина. Сыном Вольфганга был Янош Бойяи, также математик, сфера интересов которого лежала в области неевклидовой геометрии. Гаусс признавал, что многими своими идеями в области геометрии он обязан именно Бойяи, с которым мог обсудить их и улучшить.
Со времени прибытия в Гёттинген молодой Гаусс продолжил свои исследования о числах, начатые в Коллегии. Без сомнения, именно в ходе этих исследований, а не благодаря занятиям у Кестнера в Брауншвейге он сделал открытие, ставшее ключевым не только для карьеры математика, но и для будущего науки. Речь о методе построения правильного многоугольника с 17 сторонами с помощью линейки и циркуля.
Благодаря построению 17-угольника в 1796 году Гаусс понял, что может извлечь больше пользы из своего таланта, занимаясь математикой, а не философией. Осознавая важность своего открытия, которое решало одну из проблем построения с помощью линейки и циркуля — проблему, очень долго волновавшую математиков, — он написал об этом в своем небольшом дневнике. Эта запись стала первой в одном из самых интересных математических документов в истории науки. Последняя запись сделана 9 июля 1814 года. Дневник Гаусса — это всего 19 страниц, на которых содержится 146 коротких записей с открытиями или результатами вычислений. Содержание записей ученого стало известно только в 1898 году, через 43 года после смерти Гаусса, когда Королевское сообщество Гёттингена попросило внука математика предоставить дневник для изучения. Так стали известны большинство результатов, полученных Гауссом, и были разрешены многие споры об авторстве математических открытий. Дневник позволял ученому быстро записывать идеи, которые у него появлялись. Гаусс записывал конечный результат, без его строгого доказательства, причем даже сама формулировка требовала определенной расшифровки. Ученый вел дневник для себя, поэтому прибегал в записи к аббревиатурам, значение которых знал только он, и не всегда использовал математические обозначения. Большинство записей удалось расшифровать, поскольку результаты, к которым они относятся, Гаусс позже опубликовал в более формальном виде (например, записи, относящиеся к треугольным числам, к методу наименьших квадратов или дифференциальной геометрии). Теорема, относящаяся к треугольным числам, имеет в дневнике следующий вид:
! num = + + .
Этот результат Гаусс опубликовал позже в книге «Арифметические исследования» в 1801 году в такой формулировке: любое число может быть записано в качестве суммы, самое большее, трех треугольных чисел. Но есть настолько зашифрованные записи, что их так и не удалось понять. Гаусс записал 11 октября 1796 года: Vicimus GEGAN («Мы победили дракона»). До сих пор неясно, что за дракона он имел в виду. Ученый пишет 8 апреля 1799: REV. GALEN в прямоугольнике, и эту запись не удается связать ни с одним из известных результатов Гаусса.
Важность этого открытия для математики заключается в том, что именно благодаря ему Гаусс решил посвятить себя этой науке. На следующий день, 30 марта, ровно за месяц до 19-летия, юноша сделал свою первую запись в самом важном научном дневнике за всю историю математики. В этот дневник попадет большинство математических открытий XIX века, но некоторые результаты Гаусса за наиболее плодотворный период между 1796 и 1814 годами в него не вошли. Благодаря многим записям удалось установить первенство математика в ряде областей, хотя некоторые его современники отказывались верить в то, что он их опередил. Запись от 19 марта 1797 года доказывает, что Гаусс открыл двойную периодичность некоторых эллиптических функций. Эллиптические функции, то есть обобщение таких тригонометрических функций, как синус и косинус, были интересны в связи с вычислением размера дуги эллипса (отсюда их название), что, в свою очередь, оказалось очень важным для астрономических расчетов. Гауссу в это время было 20 лет. Другая запись доказывает, что немецкий математик обнаружил двойную периодичность в общем случае — только одно это открытие, если бы оно было опубликовано, тут же принесло бы ему мировую известность.
Многие другие записи, которые на несколько десятилетий оказались сокрытыми в этом дневнике от всех, будучи опубликованными, возвысили бы полдюжины математиков. Некоторые открытия Гаусса не были опубликованы в течение его жизни, но он не претендовал на первенство, обнаружив, что его открытия заново сделаны другими авторами, поскольку был слишком гордым, чтобы вступать в споры такого рода. Говоря о себе, Гаусс замечал, что вел научные исследования только в ответ на собственные природные устремления, а публикация результатов и приобщение к ним других людей для него всегда имели второстепенное значение.