Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Лизана Антонио Руфиан

Но это не означает, что нет людей, которые посвящали бы свое время и энергию безуспешному нахождению способов построения семиугольников или других фигур, что, как доказано математиками, невозможно осуществить с помощью линейки и циркуля. Это касается квадратуры круга, трисекции угла или удвоения куба. Первой задачей со страстью, которая сохранилась всю жизнь, занимался не кто иной, как Наполеон. Однако эту битву, в отличие от битв с прусской армией, Наполеон не смог, да и не мог бы выиграть.

ГЛАВА 2 «Арифметические исследования»

Гаусс — отец теории чисел в ее современном понимании. Среди других его достижений — решительный импульс в использовании комплексных чисел, благодаря чему он оставил нам инструмент, с помощью которого можно подойти к решению полиномиальных уравнений любого типа. Этой теме посвящена работа «Арифметические исследования», в которой

Гаусс собрал свои многочисленные исследования, совершенные в молодые годы.

Гаусс привел математику XIX века к целям, о которых до него и не подозревали. Первым огромным вкладом ученого в алгебру была докторская диссертация, которую, как мы уже знаем, он защитил заочно в 1799 году в Хельмштедтском университете. Руководителем работы был Иоганн Фридрих Пфафф (1765-1825), один из великих математиков того времени, и он всегда относился с особым вниманием к своему подопечному. Пфафф считал своим долгом заботиться о том, чтобы его молодой друг больше двигался, и они часто гуляли днем, разговаривая о математике. Поскольку Гаусс отличался не только скромностью, но и некоторой замкнутостью, возможно, Пфафф не смог разглядеть все черты его натуры, однако известно, что сам молодой диссертант восхищался своим преподавателем, которого считал лучшим математиком Германии — благодаря не только отличным научным работам, но и простому и открытому характеру. Со временем ученик превзойдет учителя. Барон Александр фон Гумбольдт (1769-1859), знаменитый путешественник и любитель наук, с которым Гаусс сотрудничал, изучая геомагнетизм, спросил Пьера-Симона Лапласа (1749-1827), одного из выдающихся французских математиков, кого тот считает самым великим математиком в Германии. Лаплас ответил: «Пфаффа». «А Гаусс?» — удивился фон Гумбольдт, который поддерживал кандидатуру Карла Фридриха на пост директора Гёттингенской обсерватории. «О, — сказал Лаплас, — Гаусс — самый великий в мире».

Название докторской диссертации Гаусса звучит так: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse («Новое доказательство теоремы, в которой говорится, что любая алгебраическая рациональная функция может быть разложена на множители первой или второй степени с действительными коэффициентами»). В этом заголовке содержится небольшая ошибка, которая принесла молодому Гауссу еще больше величия: это доказательство было не «новым», а первым в истории полным доказательством основной теоремы алгебры.

Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.

Карл Фридрих Гаусс

В этой теореме, в том виде, в каком ее формулировал Гаусс (затем она была обобщена), утверждается, что любой многочлен от одной переменной имеет столько корней, сколько показывает его степень, допуская, что эти корни могут быть множественными. Многочлен Р — это выражение вида Р(x) = a_nx_n + a_n-1x_n-1 + ... + а₁х + a₀, где коэффициенты а_n, а_n-1, ... , a₁, a₀ — действительные числа. Степень Р — это наибольший показатель степени, в которую нужно возвести переменную х, то есть n. Корни многочлена — это точки, в которых он равен нулю, то есть такие точки х, в которых Р(х) = 0. В качестве естественного следствия из теоремы можно сделать вывод, что любой многочлен степени n с n корнями, необязательно разными, которые мы обозначим r₁, r₂,..., r_n, можно разложить как произведение одночленов вида:

Р(х) = (x-r₁) · (x - r₂) · ... · (x - r_n).

Задачи такого типа часто встречаются в повседневной жизни, и их решение заботило математиков с самого начала развития этой науки. Очевидно, что задачи типа x - 3 = 0 имеют единственный корень, то есть 3. Если мы возьмем многочлен x + 3 = 0, то для его решения нам придется учитывать отрицательные числа, поскольку решение — это -3. Именно по этой причине потребовалось расширить множество натуральных чисел до множества целых чисел, которое включает в себя и отрицательные числа. Вавилоняне и египтяне осознали, что для решения простых уравнений первой степени нужно новое расширение, в данном случае это дроби, поскольку решением уравнения 3x — 2 = 0 является величина 2/3. Множество, которое включало в себя дроби, назвали множеством рациональных чисел.

С увеличением показателя степени многочлена все усложняется, и такое простое уравнение, как х^2-2 = 0, привело греков к великому открытию, поскольку решение нельзя было выразить в виде дроби. Действительно, методом от противного было найдено аналитическое доказательство того, что sqrt(2) не является рациональным числом.

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО sqrt(2)

Находчивые древнегреческие математики предложили доказательство нерациональности sqrt(2), пользуясь методом от противного, который состоит в том, чтобы предположить противоположное тому, что мы хотим доказать, и прийти к логическому противоречию. Предположим, что sqrt(2) рационально, то есть его можно выразить с помощью некоторой дроби p/q. Теперь предположим, что дробь невозможно сократить, то есть что р и q — взаимно простые. Иначе было бы достаточноразделить оба элемента дроби на наибольший общий делитель. Так как sqrt(2) = p/q, получается, что, если возвести в квадрат оба члена, то 2 = p^2/q^2, значит, 2q^2 = p^2, то есть р^2 — это четное число, и, следовательно, таким же является р. Так как р — четное число, то существует натуральное число k, такое, что р = 2k. Если подставить новое значение р в наше уравнение, получится, что 2q^2 = 4k^2. Это предполагает, что q^2 = 2k^2, то есть q -— также четное. Но это означает, что нашу исходную дробь можно сократить, а это противоречит условиям, следовательно, предположение, что sqrt(2) — рациональное число, ложно.

Столкнувшись с невозможностью выразить такие числа, как sqrt(2), в виде дроби, математики назвали их иррациональными. Несмотря на сложности, связанные с их точной записью, иррациональные числа имеют реальное значение, поскольку их можно представить как точки на числовой прямой. Число sqrt(2) находится между 1,4 и 1,5, и если построить прямоугольный треугольник, катеты которого будут равны 1, мы знаем, что его гипотенуза равна sqrt(2) по теореме Пифагора. Множество чисел, в которое включались бы и рациональные, и иррациональные числа, назвали действительными числами, и они представлены на числовой прямой.

Проблема поиска корней многочлена усложнялась, когда речь шла о том, чтобы найти решения таких с виду простых уравнений, как х^2 + 1 = 0. Казалось очевидным, что ни одно число, возведенное в квадрат, не может дать в результате отрицательное число, каким бы ни было исходное число, положительным или отрицательным. Итак, пришлось создать новый тип чисел, которые позволили бы решить уравнения этого типа. Новое число, sqrt(-1), было названо мнимым числом и обозначено как г. Создание, казалось бы, из ничего, решения для этого уравнения кажется обманом: почему бы не признать, что у уравнения просто нет решения? Но ответ в том, что найденное решение вызвало большой прогресс арифметики и при этом оно не содержит логических противоречий. Самолеты никогда не поднялись бы в воздух, если бы инженеры не пользовались мнимыми числами. Итак, если мы будем использовать новое обозначение и решим уравнение х^2 +1=0 как квадратный многочлен вида aх^2 + bх + с = 0, с помощью известной формулы

что приводит к корням i и -i, то получается, что x^2 + 1 = (x + r) · (x - r), в соответствии с основной теоремой алгебры.

Первым, кто активно пользовался мнимыми числами, также называемыми комплексными, был итальянский математик Джироламо Кардано (1501-1576), который применил их в формуле решения кубических уравнений, но термин «комплексные числа» был введен Гауссом при доказательстве основной теоремы алгебры в своей докторской диссертации.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

Числовая прямая сформирована из рациональных чисел, представимых в виде дробей, и иррациональных, для которых такое представление невозможно. Но как распределяются оба множества на прямой? Есть ли какое-то сбалансированное распределение, которое делает возможным соседство подмножеств на числовой прямой? Чтобы ответить на этот вопрос, сделаем несколько выводов, которые могут вас удивить. Если взять два любых числа множества рациональных чисел, которое обычно обозначают Q, всегда можно найди другое рациональное число, заключенное между ними. Это достаточно очевидно. Если q₁, q₂, то