Эволюция Вселенной и происхождение жизни

Теерикор Пекка

Рис. 15.1. Создатели гиперболической геометрии: Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) (в центре), Николай Лобачевский (1792–1856) (справа) и Янош Бойяи (1802–1860) (слева).

Русский ученый, профессор и ректор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский создал логически стройную геометрическую систему, в которой постулат параллельности Евклида был заменен другой аксиомой.

• Через данную точку на плоскости можно провести бесконечное число линий, которые не пересекаются с данной линией на плоскости.

Он

называл эту систему «воображаемой геометрией» (или «пангеометрией») и полагал, что нет таких областей математики, кроме самых абстрактных, для которых в один прекрасный день не нашлось бы применения в реальном мире. Гаусс, Бойяи и Лобачевский ничего не знали о работах друг друга. Но Лобачевский первым опубликовал статью о новой геометрии. Она появилась в 1829 году в «Казанском вестнике» на русском языке и осталась незамеченной. Пытаясь завоевать широкую известность, Лобачевский опубликовал свою статью в 1837 году на французском языке, затем в 1840 году на немецком, вновь в 1855 году на французском. Успешная работа Лобачевского привела к тому, что он стал ректором Казанского университета и даже был награжден Николаем I. Но в 1846 году он вышел на пенсию (некоторые считают, что его уволили из университета), и лишь после смерти имя Лобачевского стали связывать с разработкой неевклидовой геометрии. Последнюю благодарность от правительства Лобачевский получил за несколько месяцев до смерти за новый способ обработки шерсти.

В это же время, не зная о работе Лобачевского, венгр Бойяи «создал из ничего странный новый мир». Оба они — и Лобачевский, и Бойяи — пытались доказать пятый постулат, но со временем понимали, что решить эту задачу невозможно: Бойяи в 1823 году, а Лобачевский в 1826-м. Отец Яноша, Фаркаш, друживший с Гауссом, и сам — известный математик, работал над той же проблемой. Когда он прочитал труд сына, то заставил Яноша опубликовать его, включив в виде 26-страничного Дополнения в свою книгу, изданную в 1832 году.

Гаусс в письме к Фаркашу Бойяи одобрил труд сына, но заявил, что сам разработал ту же идею около 30 лет назад. Янош был сокрушен письмом Гаусса. Он потерял приоритет и впоследствии никогда ничего не писал на эту тему. Гаусс придумал термин «неевклидова геометрия», но ничего не публиковал по ней, поскольку он «очень не хотел заниматься чем-то таким, что навлекло бы на него критику» — так он говорил в письме от 1829 года. В частном письме от 1824 года Гаусс сообщал: «Предположение, что (в треугольнике) сумма трех углов меньше 180°, ведет к любопытной геометрии, полностью отличающейся от нашей, но совершенно последовательной, которую я разработал для собственного удовлетворения».

Математические методы, необходимые для вычислений в неевклидовой геометрии, разработал Риман. Эта область математики, которую со временем изучил даже Эйнштейн, называется сейчас тензорным исчислением. Тензоры — это сложные величины, напоминающие векторы, которые используют для описания электрических полей. Примером тензора служит тензор кривизны, который описывает, насколько искривлено пространство, то есть насколько оно отличается от евклидова пространства. В четырехмерном пространстве тензор кривизны имеет 20 компонентов. Сравните это с вектором электрического поля, имеющим всего 3 компонента.

Еще в детстве Георг Риман (1826–1866) отличался выдающимися математическими способностями. К тому же он прилежно изучал Библию и в 1846 году, следуя отцовской воле, поступил в Гёттингенский университет на отделение теологии. Однако, посетив несколько лекций по математике, он попросил отца разрешить ему заняться математикой. Отец был не против, и Риман начал учиться математике, в том числе и у Гаусса. Под руководством Гаусса он завершил диссертацию и был взят на работу в Гёттингенский университет для подготовки к профессорскому званию (то есть — в аспирантуру). По окончании подготовки он выступил с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии»,

которая теперь среди математиков считается классической работой. В ней обсуждается определение тензора кривизны и рассматривается вопрос о связи геометрии с миром, в котором мы живем. Какова размерность реального пространства и какой геометрией описывается наше пространство? Риман полагал, что само пространство может иметь измеряемые характеристики (рис. 15.2).

Рис. 15.2. Георг Риман — математик, проложивший путь для общей теории относительности.

Эта лекция намного опередила свое время и не была оценена большинством ученых. Согласно общепринятому тогда мнению, которое разделял и Ньютон, пространство служит жестким фоном, относительно которого проводятся все изменения. В окружении Римана только Гаусс смог оценить глубину мысли юного математика. На собрании факультета он с большой похвалой отозвался о профессоре физики Вильгельме Вебере и хвалил за оригинальность работу Римана.

Свойства неевклидовых геометрий.

Вселенная конечна или бесконечна? Это не так-то просто «увидеть». Евклидова геометрия прекрасно описывает наши обычные измерения. Но в будничной геометрии трудно встретиться с бесконечностью. С другой стороны, испытываешь немалые трудности, пытаясь представить себе конечный мир со сферической геометрией, хотя его конечность легко описывается математически.

Обычно для демонстрации неевклидовой геометрии в качестве примера используют поверхности. Наша трехмерная Вселенная (мы не учитываем время) в практическом отношении плоская, поэтому в ней мы легко можем заметить кривизну обычных поверхностей. Но трудно представить четырехмерное пространство, не разбираясь в том, что означает кривизна. Наш мозг не привык решать такие задачи, поэтому лучше ограничиться рассмотрением двумерных поверхностей. Сферическая Вселенная имеет странное свойство — у нее конечный объем, хотя ни в каком направлении невозможно найти ее край. Это легче понять, если представить поверхность сферы, которая позволяет нам заметить и другое интересное свойство сферической геометрии: идущий вперед путешественник вернется в начальную точку своего пути после того, как обойдет вокруг света. Путешествуя по Земле, если вы движетесь все время вперед по большому кругу, вы тоже вернетесь в исходную точку. Странный результат, если вы считаете Землю плоской!

Как легко понять, двумерным аналогом сферической Вселенной служит поверхность сферы. Не обязательно иметь возможность взглянуть на нее из третьего измерения или же обходить сферу кругом, чтобы догадаться о кривизне сферической поверхности. Существо, живущее на сферической поверхности, не способное выйти в третье измерение над этой поверхностью и даже не имеющее представления об этом третьем измерении, все равно может проводить построения на этой поверхности, чтобы узнать ее геометрические свойства. Оно может нарисовать треугольник и измерить сумму его внутренних углов. Если результат получится больше 180°, это докажет, что существо живет на сферической поверхности (рис 15.3). Или так: можно нарисовать круг и измерить его. Если отношение длины окружности к ее диаметру меньше, чем (= 3,141592…), то существо будет знать, что оно живет в мире сферической геометрии.

В противном случае, если сумма внутренних углов треугольника меньше чем 180°, а отношение длины окружности к ее диаметру больше я и если через данную точку можно провести любое число линий, параллельных данной линии, то существо понимает, что оно живет в гиперболическом пространстве. Гиперболическое пространство тянется на бесконечное расстояние и не имеет аналога в обычной жизни. Форма седла, точнее — его центральной части, более или менее напоминает ограниченную область гиперболической поверхности.