Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики
Шрифт:

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.

Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, z) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x–компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у–и z–компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние ?x, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x–компоненте силы, умноженной на ?x (если ?x достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

?W=-?U=Fx?x. (14.9)

Мы

просто применили формулу ?F•ds=-?U для очень

малых расстояний. Теперь разделим на ?x и обнаружим, что сила равна

Fx=-?u/?x. (14.10)

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при ?x, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых ?x. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать–dUldx. Но U зависит и от х, и от у, и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, что только х считается изменяющимся, а у и z – нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или д. (По–моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с d; d всегда хочется сократить, а вот на д как–то рука не поднимается!) Итак, они пишут dU/dx, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, z внизу (dU/dx)yz, что означает: «Продифференцируй U по х, считая у и z постоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной U по х:

Fx=-дU/дx (14.11)

Точно так же и сила в направлении у получается дифференцированием U по у при постоянных х и z, а третья составляющая силы опять–таки есть производная по z при х и у постоянных:

В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энергии. Поле получается из потенциала в точности так же:

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впрочем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, z, то символы д/дх, д/ду, d/dz, дающие х-, у-, z–компоненты поля, чем–то напоминают векторы. Математики изобрели знаменитый символ ?, или grad, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: x–компонента этого grad есть д/дх, y–компонента – д/ду, а z–компонента– d/dz, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

Глядя на ?; мы мгновенно узнаем, что наши уравнения векторные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь ?U.

Еще один пример полей и потенциалов связан с электричеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: F = qЕ. (В x–составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от магнитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна перемещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электрическом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнитного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) Положим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину ?, равную минус интегралу от Еds от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенциальная энергия в электрическом поле равна просто произведению заряда на эту величину ?:

?(r) = -Eds,

U=q?.

В качестве примера рассмотрим две параллельные металлические пластины с поверхностным зарядом ?? (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конденсатором. Мы уж убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно ?/?0 (фиг. 14.5).

Фиг. 14.5. Поле между параллельными пластинами.

Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила.)•(ds). Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластине 1 минус та же величина на пластине 2:

W=?F•ds= q(?1– ?2).

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора d, то интеграл равен

Разница в потенциалах ??= ?d/? называется напряжением и ? измеряют в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна стольким–то вольтам. У конденсатора, сделанного из двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ±?, напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно ?d/?.

Поделиться:
Популярные книги

Светлая ведьма для Темного ректора

Дари Адриана
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Светлая ведьма для Темного ректора

Дайте поспать! Том II

Матисов Павел
2. Вечный Сон
Фантастика:
фэнтези
постапокалипсис
рпг
5.00
рейтинг книги
Дайте поспать! Том II

Последний попаданец 12: финал часть 2

Зубов Константин
12. Последний попаданец
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Последний попаданец 12: финал часть 2

Решала

Иванов Дмитрий
10. Девяностые
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Решала

Истребители. Трилогия

Поселягин Владимир Геннадьевич
Фантастика:
альтернативная история
7.30
рейтинг книги
Истребители. Трилогия

Попаданка для Дракона, или Жена любой ценой

Герр Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.17
рейтинг книги
Попаданка для Дракона, или Жена любой ценой

Беглец. Второй пояс

Игнатов Михаил Павлович
8. Путь
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
боевая фантастика
5.67
рейтинг книги
Беглец. Второй пояс

Черный Маг Императора 4

Герда Александр
4. Черный маг императора
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 4

Боги, пиво и дурак. Том 3

Горина Юлия Николаевна
3. Боги, пиво и дурак
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Боги, пиво и дурак. Том 3

Волк: лихие 90-е

Киров Никита
1. Волков
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Волк: лихие 90-е

Рота Его Величества

Дроздов Анатолий Федорович
Новые герои
Фантастика:
боевая фантастика
8.55
рейтинг книги
Рота Его Величества

На изломе чувств

Юнина Наталья
Любовные романы:
современные любовные романы
6.83
рейтинг книги
На изломе чувств

Дракон

Бубела Олег Николаевич
5. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
9.31
рейтинг книги
Дракон

Кодекс Крови. Книга IV

Борзых М.
4. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга IV