Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фейнман Ричард Филлипс

Многих людей, изучающих квантовую механику обычным (старомодным) способом, это обстоятельство очень волнует. Им хотелось бы считать, что когда фотон излучается, то он движется как волна определенного характера. Они хотели бы думать, что поскольку «каждый данный фотон» обладает некото­рой «амплитудой» того, что он окажется х- или y– поляризованным, то должен быть определенный шанс поймать его либо в х- , либо в y– счетчике, и что этот шанс не должен зависеть от того, что обнаруживает другой человек у совершенно другого фотона. Они доказывают, что «если кто-то другой делает измерения, он не должен быть в состоянии изменить вероятность того, что я обнаружу». Наша квантовая механика утверждает, однако, что, делая измерения над фотоном № 1, вы в состоянии пред­сказать точно, какая собирается быть поляризация у фотона № 2. С этим никак не мог согласиться Эйнштейн. Этот парадокс, так называемый

«парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена», его очень беспокоил. Но если описать положение вещей так, как это было сделано у нас, то вообще нет никакого парадокса; вполне естественно получается, что то, что измеряется в одном месте, коррелировано с тем, что измеряется где-то в дру­гом. Рассуждать, чтобы результат стал парадоксальным, надо примерно так:

1) Если у вас есть счетчик, который сообщает вам, какой ваш фотон — правый или левый, то вы можете точно предсказать сорт фотона (правый или левый), который обнаружит ваш при­ятель.

2) Каждый фотон, который он принимает, должен поэтому быть либо чисто левым, либо чисто правым, причем часть фото­нов будет одного сорта, а часть другого.

3) Вы бесспорно не в состоянии переменить физическую при­роду его фотонов, меняя характер тех наблюдений, которые вы совершаете над вашими фотонами. Какие бы вы измерения ни проделывали над своими фотонами, его фотоны по-прежнему должны быть либо правыми, либо левыми.

4) Допустим, что он меняет свой аппарат так, чтобы расще­пить свои фотоны при помощи куска известкового шпата на два линейно поляризованных пучка, так что все его фотоны перейдут либо в x– поляризованный, либо в y– поляризованный пучок. Согласно квантовой механике, нет никакого способа сообщить, в какой из пучков перейдет заданный правый фотон. Есть 50%-ная вероятность, что он пойдет в x– пучок, и 50%-ная вероятность, что в y– пучок. То же будет и с левым фотоном.

5) Поскольку каждый фотон является либо левым, либо правым (согласно пунктам 2 и 3), то каждый из них должен с 50%-ной вероятностью перейти либо в x– пучок, либо в y– пучок, и невозможно предсказать, какой путь он выберет.

6) А теория предсказывает, что если вы заметили, что ваш фо­тон прошел через x– поляризатор, то вы со всей определенностью можете предсказать, что его фотон пройдет в его y– поляризованном пучке. Это противоречит пункту 5, так что налицо пара­докс.

Но природа, по всей видимости, не замечает этого «пара­докса», потому что опыт свидетельствует о том, что предсказание пункта 6 в действительности верно. Мы уже обсуждали ключ к решению этого «парадокса» в нашей самой первой лекции по квантовомеханическому поведению [см. гл. 37 (вып. 3)]. В при­веденном выше рассуждении пункты 1, 2, 4 и 6 все правильны, а пункт 3 и, как следствие этого, пункт 5 — ошибочны; они не являются правильным описанием природы. Рассуждение в пункте 3 говорит, что с помощью вашего измерения (наблюдения правого или левого фотона) вы можете определить, какое из двух взаимоисключающих событий произойдет у него (увидит ли он правый фотон или левый), и что даже если вы не проде­лаете своих измерений, вы все равно сможете сказать, что у него произойдет либо одно событие, либо другое. В этом и состоит суть рассказанного в гл. 37 (вып. 3) — подчеркнуть сразу, с са­мого начала, что в Природе дело обстоит совсем не так. Ее путь требует описания на языке интерферирующих амплитуд, по одной амплитуде для каждого события, исключающего другие события. Измерение, в котором действительно реализуется одна из возможностей, разрушает интерференцию, но если измерение проделано не было, вы не вправе говорить, что все равно реали­зуется либо одна возможность, либо другая».

Вот если бы вы могли определить для каждого из ваших фо­тонов, какой он — правый или левый и, кроме того, являет­ся ли он x– поляризованным (все для одного и того же фотона), то это действительно было бы парадоксом. Но этого вы не сможете сделать — перед вами пример принципа неопределенности.

Если вы все еще не удовлетворены и считаете это «парадок­сом», то покажите, что это действительно парадокс: придумайте такой воображаемый опыт, для которого теория квантовой ме­ханики двумя различными рассуждениями предсказывала бы два несогласующихся результата. В противном случае «пара­докс» — это всего лишь конфликт между тем, что есть на самом деле, и вашим ощущением того, какой «полагалось бы быть» реальной природе.

Вы считаете, что это не «парадокс», но что это все же очень странно? С этим мы все можем согласиться. Именно это и делает физику столь захватывающе интересной.

§ 4. Матрица поворота для произвольного спина

Сейчас, я надеюсь, вам уже ясно, как важно представ­ление о моменте количества движения для понимания атомных процессов. До сих пор мы рассматривали только системы со спи­нами (или «полными моментами количества движения») 0, ¹/₂ и 1. Но бывают, конечно, и атомные системы с большими момента­ми количества движения. Для анализа таких систем нужны такие же таблицы амплитуд поворота, какие мы привели в гл. 15, § 6. Иными словами, нужна матрица амплитуд для спина ³/₂, 2, ⁵/₂, 3 и т. д. Мы не будем подробно рассчитывать эти таблицы, но хотели бы показать, как это делается, чтобы вы, если понадобится, могли сами это проделать.

Как мы видели раньше, любая система со спином, или «пол­ным моментом количества движения», j может существовать в одном из 2/ + 1 состояний, в которых z-компонента момента количества движения принимает одно из дискретных значе­ний j, j– 1, j -2, . . ., -(j– 1), -j (все в единицах h). Обозначая z-компоненту момента количества движения про­извольного выбранного состояния через mh, можно определить состояние момента количества движения, задав численные значения двух «квантовых чисел момента количества движения» j и m. Такое состояние можно отметить, указав вектор состоя­ния | j, m>. В случае частиц со спином ¹/₂ могут быть два состоя­ния | ¹/₂, ¹/₂) и | ¹/₂, -¹/₂> a состояния системы со спином 1 в этих обозначениях можно записать как |1, +1>, |1, 0>, | 1, -1>. У частицы со спином 0 может быть, конечно, лишь одно

состояние | 0, 0>.

Теперь мы можем посмотреть, что происходит, когда мы прое­цируем общее состояние | j, m>на представление, относящееся к повернутой системе осей. Прежде всего известно, что j — это число, которое характеризует систему, поэтому оно не меняется. При повороте осей мы получим просто смесь различных значе­ний т для одного и того же j. В общем случае появится амплиту­да того, что система в повернутой системе координат окажется в состоянии | j, m'>, где m' — новая z-компонента момента ко­личества движения. Значит, нам нужны матричные элементы <j, m' |R|j, m>всевозможных поворотов. Мы уже знаем, что бывает, если поворот делается на угол j вокруг оси z. Новое состояние — это попросту старое, умноженное на e^imj, у него по-прежнему то же значение т. Это можно записать так:

или, если вам больше нравится,

(где d_m,m' равно единице при m' = m, и нулю в прочих случаях).

При поворотах вокруг любой другой оси возникает переме­шивание различных m– состояний. Можно было бы, конечно, попытаться подсчитать матричные элементы для произвольных поворотов, описываемых углами Эйлера b,a и g. Но будет легче, если мы вспомним, что самый общий такой поворот может быть составлен из трех поворотов R_z(g), R_y(a), R_z(b); так что если мы знаем матричные элементы для поворотов вокруг оси y, то уже располагаем всем необходимым.