Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

^o

T

(x)

=

m

ds

(x-z(s))

z

z

.

(6.1.3)

То, что это выражение для тензора ^oT эквивалентно тому, которое было использовано ранее, может быть проверено сравнением соответствующих членов действия

dx

^o

T

(x)

h

(x)

=

m

ds

h

(z)

z

z

.

(6.1.4)

Существует

простой физический путь для интерпретации смысла -функции в соотношении (6.1.3); в этом выражении попросту утверждается то, что нет энергии взаимодействия, за исключением того места, где на самом деле находится частица. Возможно проще понять, насколько удачно подобраны эти выражения, переписывая обычную электродинамику на том же самом языке; член в лагранжиане, описывающий взаимодействие, есть объёмный интеграл от -jA а j связывается со скоростью частицы следующим образом:

j

(x)

=

e

ds

(x-z(s))

z

,

S(внутр)

=-

e

ds

A

(z)

z

.

(6.1.5)

Параллелизм с нашими гравитационно-полевыми выражениями (6.1.3) и (6.1.4) очевиден.

Вычислим дивергенцию ^oT_, из соотношения (6.1.3). Сначала проверим, что -функция симметрична по переменным x и z, так что производная по переменной x может быть заменена (со знаком "-") производной по переменной z. Тогда мы будем использовать следующее тождество

z

z

f[z(s)]

=

d

ds

f[z(s)]

(6.1.6)

для того, чтобы получить выражение для дивергенции тензора ^oT

^o

T

_,

=

m

ds

(x-z(s))

z

.

(6.1.7)

Мы видим, что эта дивергенция есть плотность ускорения. Здесь мы будем предполагать, что мы уже правильно включили в наш лагранжиан все взаимодействия, отличные от гравитации, так что ускорение z представляет влияние гравитации, задаваемое уравнением движения

g

z

=-

1

2

[

g

_,

+

g

_,

–

g

_,

]

z

z

=-

[,]

_z

z

z

.

(6.1.8)

Нижний индекс z на скобке напоминает нам, к какой переменной относятся индексы. Теперь умножим дивергенцию, полученную в соотношении (6.1.7), на g(x) и заменим gz на -[,]_zzz. Заметим, что из-за наличия -функции величина [,]_z приводит к тому же эффекту, что и [,]_x. Это означает, что знак скобки может быть вынесен за знак интеграла, приводя нас к выражению, в которое включена только дивергенция ^oT_, и исходный тензор ^oT:

g

(x)

^o

T

_,

(x)

=-

[,]

^o

T

(x)

.

(6.1.9)

Это точное уравнение, которому должен удовлетворять тензор ^oT. В настоящем время мы используем его только в первом порядке малости по h. Мы можем разделить тензор g на два слагаемых +2h и получить уравнение,¹ которое говорит нам, что дивергенция ^oT_, начинается с линейного члена по константе связи :

^o

T

^,

=-

[,]

^o

T

–

2

h

^o

T

_,

,

(6.1.10)

¹ При переводе мы не меняли не очень удачные обозначения Фейнмана, когда обозначает одновременно как индекс, так и множитель, т.е. две совершенно различные величины. (Прим. перев.)

так как знак ”скобка” включает в себя производные, которые делают нулевой порядок тензора g не играющим никакой роли.

Когда мы сравниваем это соотношение с требованием, что новый тензор ^newTⁿT должен иметь нулевую дивергенцию,

ⁿ

T

_,

=

^o

T

_,

+

_,

,

(6.1.11)

и если мы предполагаем, что само выражение для – билинейно по полям, мы видим, что дивергенция _, должна иметь следующее выражение:

_,

=

[,]

^o

T

+

O(^2)

… .

(6.1.12)

Знание дивергенции не определяет для нас . У нас есть дополнительное требование, используя которое мы надеемся вывести из вариации F^3 по отношению к h, согласно соотношению (6.1.2). Если мы возьмём F^3 как сумму по всем возможным независимым произведениям, включающим в себя всевозможные трилинейные произведения полевых компонент и два независимых индекса, по которым берутся производные, то эти два требования определяют величину F^3 однозначно. Мы не будем проводить здесь определение 18 констант, но отметим, что это результат больших и трудоёмких алгебраических вычислений

F^3

=-

h

h

h

_,

+

h

h

h

_,

^,

–

–

2h

h

h

^,

+

2

h

h

_,