Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
если
=
,
0
в противном случае
(4.7.5)
Подставляем такой полевой тензор в уравнения движения и используем следующие обозначения
=
2h
,
=
2h
=
2h
=
2h
.
(4.7.6)
Для данного случая ясно, что ==-2MG/r, но в последней лекции мы будем иметь возможность рассмотреть случай, для которого это неверно,
Процедура решения уравнений, описывающих орбиты, аналогична методу решения уравнений для ньютоновского поля. Мы разделяем уравнения на пространственные координаты и временные координаты, исключаем время и параметр для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее бесконечно малые перемещения по радиальной и угловой координате. Мы исходим из четырёхмерного уравнения (4.7.1). Пространственные координаты (=3,2,1) ведут себя согласно следующему уравнению
d
ds
(-
x
+
x
)=
1
2
x
t^2
+
x
(
x^2
+
y^2
+
z^2
)
.
(4.7.7)
Уравнение для времени имеет вид
d
ds
(
t
+
t
)=
0.
(4.7.8)
Мы имеем интеграл движения, следующий из уравнения (4.6.13)
x
x
+
2
h
x
x
=
1,
(4.7.9)
которое приводит для нашего случая к следующему соотношению
t
(1+)
–
(1-)
(
x^2
+
y^2
+
z^2
)=
1.
(4.7.10)
Из уравнения для времени (4.7.8) следует, что
(1+)
dt
ds
=
K,
(4.7.11)
где K есть константа (пропорциональная энергии). Это соотношение используется для исключения производной dt/ds из уравнения для пространственных компонент (4.7.7). Так как величины , зависят только от r, правая часть уравнения (4.7.7) ориентирована по оси x. Из этого следует, что
d
ds
[
(1-)
(xy-yx)
]=
0.
Таким образом, если мы предполагаем, что движение происходит полностью в плоскости z=0 и используем полярные координаты r, в плоскости xy, мы имеем дополнительную константу движения L, связанную с угловым моментом
(1-)
r^2
=
L.
(4.7.12)
Уравнение для радиального движения может быть получено из уравнения (4.7.10), записанного в полярных координатах
K^2
1+
–
(1-)
(r^2^2+r^2)
=
1.
(4.7.13)
Меняя производную (dr/d) на отношение (dr/ds) и (d/ds), мы получаем дифференциальное уравнение для орбиты
K^2
1+
–
L^2
(1-)r
dr
d
^2
+
r^2
=
1.
(4.7.14)
Традиционная подстановка u=1/r приводит к уравнению, которое можно удобно рассмотреть, анализируя малые возмущения ньютоновских уравнений
du
d
^2
+
u^2
=
K^2
1+
– 1
1-
L^2
.
(4.7.15)
Мы полагаем, что ==-2MG/r=-2MGu. Для нерелятивистских движений K близка к 1 и K^2/(1+)-1=K^2-1+2MGu, если величина предполагается малой, так что в пределе малых значений , правая часть уравнения (4.7.15) как раз и есть L^2(K^2-1+2MGu). Это выражение такое же, как и в ньютоновской теории, где правая часть уравнения равна (E+2MGu)L^2. где E - энергия частицы. В релятивистском случае имеются модификации, где мы не пренебрегаем членами более высокого порядка. Их мы обсудим в следующей лекции.
Лекция 5
5.1. Орбиты планет и прецессия Меркурия
Поскольку мы уже достигли некоторого прогресса в развитии более сложных теорий, мы должны взглянуть на более тонкие детали наших предсказаний для того, чтобы иметь критерии для оценки нашей теории. У нас есть полевая теория, которая сводится к ньютоновской теории в статическом пределе и включает в себя полное содержание энергии, и оказывается способной правильно предсказывать ”падение” фотонов в поле звезды. Экспериментальное свидетельство, которое заставит нас отказаться от ньютоновского приближения, касается прецессии перигелия планеты Меркурий. Мы продолжаем вычисление орбит планет. Начнём с уравнения
du
d
^2
+
u^2
=
K^2-1-
1+
1-
L^2
,
u
=
1
r
,
K
=
(1+)
dt
ds
,
r
d
ds
=
L
=
(1-)r^2
d
ds
,
(5.1.1)
где символы и представляют собой диагональные элементы тензора h, =2h и =2hii, i=1,2,3. Согласно нашей теории, которую мы разработали к настоящему времени, мы имеем ==-2GM/r=-2GMu. Однако, как мы вскоре увидим, наша теория неверна, и, чтобы не проделывать всю работу вновь после исправления теории, мы запишем