Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

Определим оператор ”черта” для произвольного тензора второго ранга следующим образом:

X

=

1

2

(

X

+

X

)-

1

2

X

.

(3.7.1)

Для симметричного типа, такого как h, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны

h

=

h

–

1

2

h

,

(3.7.2а)

h

=

h

.

(3.7.2б)

Заметим,

что оператор ”черта” является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.

Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след

h

=

Th(h)

=

h

,

h

=-

h

.

(3.7.3)

Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учётом (3.6.5) в симметризованном варианте

h

_,

^,

–

2

h

_,

^,

=-

T

.

(3.7.4)

Для того, чтобы получить соотношение для T, мы просто берём оператор ”черта” от обеих частей последнего уравнения.

Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В электродинамике полевые уравнения имеют вид:

A

^,

_,

–

A

^,

=

j

,

(3.7.5)

следствие которых состоит в возможности описания полей так же хорошо на языке нового четыре вектора A', получаемого из вектора A добавлением градиента скалярной функции X

A'

=

A

+

X

_,

.

(3.7.6)

Какое свойство было бы аналогичным свойством тензорного поля? Мы предполагаем, что следующее свойство может быть справедливым: (мы

должны быть внимательны для того, чтобы сохранить наши тензоры симметричными) подстановка

h'

=

h

+

X

_,

+

X

_,

(3.7.7)

в левую часть уравнения (3.7.4) не меняет вид этого уравнения. Доказательство этого факта оставляем в качестве упражнения.

С использованием свойства калибровочной инвариантности, было бы проще получить уравнения для полей в определённой калибровке, что более подходяще, что-то типа лоренцевой калибровки в электродинамике. По аналогии с выбором

A

_,

=

0,

(3.7.8)

мы сделаем следующий выбор (который будем называть условием Лоренца)

h

_,

=

0.

(3.7.9)

Таким образом, получаем полевые уравнения, связывающие оператор ”черта” от тензора T с полями

h

^,

_,

=-

k^2

h

=-

T

,

(3.7.10)

или решая h=(/k^2)T. Немедленно получаем, что амплитуда взаимодействия такого тензора h с другим источником T' от hT' в лагранжиане, имеет следующее выражение

^2

T'

1

k^2

T

.

Итак, мы получили в точности то, что мы получили прежде при обсуждении амплитуд непосредственно.

Лекция 4

4.1. Связь между рангом тензора и знаком поля

Мы хотели бы вывести некоторые полезные общие свойства полей, используя свойства лагранжевой плотности. Для гравитационного поля мы определим в данном месте константу взаимодействия и нормализацию плоских волн, которые мы будем отныне использовать. Мы положим

=

8G

.

(4.1.1)

Здесь, G - обычная гравитационная постоянная в естественных единицах (h=c=1); квадратный корень включается в определение с тем, чтобы константа стала аналогична заряду электрона e в электродинамике, что предпочтительнее того, чтобы подобная величина была пропорциональна квадрату заряда. Множитель 8 служит для того, чтобы исключить не относящиеся к делу множители из большей части полезных соотношений. Для того, чтобы представить плоско-волновые гравитоны, мы будем использовать поля