Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
T
,
=
0.
(3.5.6)
3.6. Уравнения гравитационного поля
Вывод уравнений начнём с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора h. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора h при комбинации различных членов. Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения
1.
h
,
h
,
2.
h
,
h
,
Если
3.
h
,
h
,
4.
h
,
h
,
5.
h
,
h
,
Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид
S
=
d
a
h
,
h
,
+
b
h
,
h
,
+
c
h
,
h
,
+
+
d
h
,
h
,
–
T
h
.
(3.6.1)
Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору h для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника T. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что h симметричен по индексам , , так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)
a2
h
,
,
+
b
(
h
,
,
+
h
,
,
)
+
+
c
(
h
,
+
h
,
)
+
d2
h
,
=-
T
.
(3.6.2)
Мы берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу , тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению
2a
h
,
,
+
b
h
,
,
+
b
h
,
,
+
c
h
,
+
+
c
h
,
+
2d
h
,
,
=
0.
(3.6.3)
Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:
h
,
,
(2a+b)
=
0,
h
,
(b+c)
=
0,
h
,
(c+2d)
=
0.
(3.6.4)
Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что a= 1/2 , мы получаем
a
=
1
2
,
b
=
– 1
,
c
=
1
,
d
=-
1
2
.
(3.6.5)
Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.
3.7. Определение символов
Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.