Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Рис. 2.3.
Обмен нейтрино может обладать потенциалом, который зависит от расстояния как 1/r, поскольку его масса равна нулю. Но так как нейтрино имеет полуцелый спин, одиночный обмен не приводит к статической силе, поскольку после одиночного обмена источник нейтрино не находится больше в том же самом состоянии, в котором он был первоначально. Для того, чтобы получить из обмена силу, а не только рассеяние, необходимо, чтобы диаграмма, включающая этот обмен, могла бы интерферировать с диагональными членами в амплитуде рассеяния, что состоит в том, что произошло бы добавление к амплитуде, которая соответствует тому, что ничего не происходит (2.3). Таким образом, возможность обмена одним нейтрино управляется тем фактом, что половина единицы углового
Рис. 2.4.
Бесспиновый мезон с нулевой массой мог бы привести к потенциалу, пропорциональному 1/r. Наиболее просто вычислить дополнительную энергию взаимодействия в координатном пространстве по сравнению с импульсным пространством. Импульсный пропагатор для такой частицы был бы 1/k^2. Нейтринный пропагатор имеет вид 1/k или k/k^2, таким образом имеет более высокую степень k в числителе; было бы даже ещё труднее связать такой пропагатор с силой типа гравитационной. Для мезона с нулевым спином мы вычисляем диаграмму, интегрируя по всем возможным моментам времени, в которые происходит испускание, и по всем моментам времени захвата, в которые происходит захват мезона, пропагатор +=1/(t^2-r^2+i) (рис. 2.4), дополнительная энергия есть (опуская множители)
E
idt
t^2-r^2+i
1
r
.
(2.3.1)
В последнем соотношении интегрирование проводится только по времени испускания (или только по времени захвата); повторное интегрирование вводит временной множитель, который представляет нормальное опережение фазы, так что он не представляет энергии взаимодействия.
Мы не установили точно только, как мы ожидаем, чтобы массы появились как множители, но имеется весьма мало смысла делать это, поскольку мы не знаем никаких бесспиновых нейтрино. Эта теория убивается половиной единицы углового момента, переносимого при взаимодействии.
2.4. Обмен двумя нейтрино
Рис. 2.5.
Может быть мы всё ещё можем получить теорию гравитации путём обмена двух нейтрино, так что они могут иметь диагональные расчётные элементы. Нет ясного пути, идя по которому, можно увидеть, почему энергия взаимодействия между двумя большими объектами должна была бы быть в точности пропорциональна их массам, хотя очевидно, что она была бы, по крайней мере, грубо пропорциональна числу частиц в каждом из них. Оставляя в стороне это обстоятельство (или возвращаясь назад, если что-либо работает не так, как следует), мы будем говорить, что взаимодействие двух объектов пропорционально произведению m·m, умноженному на взаимодействие одной пары частиц. Мы продвигаемся много дальше, чем в предыдущем случае, но делаем это несколько более аккуратно, поскольку результаты более интересные. Амплитуда того, что испускается пара нейтрино за время dt есть G'dt. Амплитуда того, что одно нейтрино испускается из одной точки в другую равна 1/(t^2-r^2+i) Мы введём массы взаимодействующих частиц m, m говоря, что эти массы должны представлять общее число частиц так, что энергия между двумя массами равна
E
=
m
m
G'^2
idt
(t^2-r^2+i)^2
.
(2.4.1)
Этот интеграл может быть весьма легко взят, либо вычислением вычетов в полюсах или простым дифференцированием интеграла (2.3.1), так что энергия равна
E
=
m
m
G'^2
2
1
r^2
,
(2.4.2)
где r расстояние, разделяющее частицы. Таким образом, мы обнаруживаем, что обмен двумя нейтрино приводит значение энергии, которое неправильно зависит от расстояния. Это заключение приводит к выводу, что теория выглядит безнадёжно. Но надежда возникает вновь, если мы анализируем ситуацию несколько дальше. Оказывается, что мы можем получить член, который зависит как 1/r, рассмотрением обмена между тремя массами. Три частицы могут обмениваться двумя нейтрино между любыми из трёх пар и новым способом (рис. 2.5). Положим, что первое испускание имело место при t=0, а другие вершины имели место в моменты времени t и s. Тогда во взаимодействие вовлечена была бы энергия
G'^3
m
m
m
i^2
ds dt
(s^2-r)(t^2-r)[(s-t)^2-r]
.
(2.4.3)
Этот интеграл может быть вычислен последовательным интегрированием в каждом из полюсов и результат равен
E
=-
G'^3
m
m
m
^2
1
(r-r-r)rrr
.
(2.4.4)
Если одна из масс, скажем масса номер 3, существенно удалена, так что r много больше, чем r, то мы, действительно, получаем, что взаимодействие между массами номер 1 и номер 2 обратно пропорционально величине r.
Что же такое масса m? Это, очевидно, может быть некоторая эффективная средняя величина по всем другим массам во вселенной. Влияние удалённых масс, сферически распределённых вокруг масс 1 и 2, проявилось бы как интеграл по средней плотности; мы бы имели
E
=-
G'^3mm^2
r
4(R)R^2dR
2R^3
,
(2.4.5)
где R - большое значение расстояния Rrr Для простой оценки мы можем взять плотность, равной константе внутри сферы; мы выполним интегрирование от некоторого начального значения радиуса, которое, тем не менее, достаточно большое по сравнению со значением r. Вклад всех масс вне сферы с этим минимальным значением радиуса является чем-то типа
E
=-
mm
r
2^3
G'^3
ln
R
Ri
.
(2.4.6)
Этот логарифм является некоторой величиной, которая не может быть многим больше, чем 50 или 100, так как характерное значение внешнего радиуса может быть равно Tc=10^1 световых лет 10^2 см. Такая энергия действует подобно гравитации; можем ли мы опровергнуть это? Да, и двумя способами. Во-первых, величина этого логарифмического члена становится сравнимой с величиной всей силы (2.4.2), пропорциональной 1/r^3, на расстояниях больших, чем те, на которых ньютоновский закон гравитации уже проверен. Более того, если мы рассматриваем влияние Солнца на гравитационное взаимодействие между Землёй и Луной, мы обнаруживаем, что это влияние должно было бы приводить к наблюдаемым отклонениям в орбитальном движении, так как расстояние от Земли до Солнца меняется при движении Земли вдоль своей орбиты. Мы оцениваем этот эффект следующим образом. Мы хотим сравнить вклад Солнца во взаимодействие Земля - Луна со вкладом всех остальных звёзд. Это влияние зависит от массы и обратно пропорционально кубу расстояния. Для логарифма меньшего, чем 1000, вклад Солнца превосходит в 10^1^2 вклад звёзд для любой разумной оценки плотности звёзд! Таким образом, мы можем пренебречь вкладом звёзд. Но таких больших возмущений, которые бы соответствовали изменению эффективной гравитационной константы, которое бы возникало от ±2 процентной вариации расстояния между Землёй и Солнцем, не наблюдалось в системе Земля - Луна.
Рис. 2.6.
Но можно ли всё-таки спасти эту теорию? Представляется, что процессы более высокого порядка могли бы снять эти трудности, например процесс, включающий 4 нейтринных линии или даже более высокие порядки, мог бы быть вычислен. Ясно, что член, изображённый на рис. 2.6, мог бы дать вклад порядка m^2, т.е. квадрата числа частиц окружающих масс, и, следовательно, влияние удалённой туманности могло бы значительно превзойти влияние Солнца. Этот факт мог бы быть ещё более справедливым для более высоких порядков теории. Мы должны, следовательно, суммировать диаграммы различных порядков, типа изображённых на рис. 2.7.
Рис. 2.7.
Тем не менее, насколько я могу судить из статистики Ферми, члены различных порядков оказываются противоположными по знаку и никакого удовлетворительного результата не получается.
Чтобы объяснить эту идею более формально, мы полагаем, что в теории (где есть, скажем, скаляр ) с квадратичной связью ^2 математическое ожидание для произведения двух полевых переменных (1)(2) в состоянии при наличии многих туманностей может определяться соотношением