Физика пространства - времени
Шрифт:
е) Ответ очевиден из рис. 52.
ж) Приравняйте k закручивающему моменту, данному уравнением (55), и вы получите искомый результат.
з) полн=1,6·10 рад.
36. Долой теорию относительности!
а) См., что получено в упражнении 10 относительно замедления хода часов.
б) См. упражнение 9 (Лоренцево сокращение — подробный пример).
в) Один из основных выводов частной теории относительности состоит в том, что пространственные координаты событий неодинаковы в системе отсчёта ракеты и в лабораторной системе отсчёта, а также что промежуток времени между событиями может быть различен с точки зрения двух инерциальных систем, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. То, что теория отражает эти факты, существующие в природе, совсем даже не плохо. Просто так устроен наш мир! Если нам требуется привязать наблюдательные данные к конкретной системе отсчёта, то теория относительности даёт возможность найти значения координат в этой системе, если уже известны их значения
1) Она вскрывает тот факт, что сами по себе отдельно взятые пространственные и временная координаты зависят от такого чисто случайного обстоятельства, как выбор системы отсчёта.
2) Она указывает, как связать значения координат, скоростей, ускорений и сил, наблюдаемые в одной системе отсчёта, с соответствующими значениями этих же величин, наблюдаемыми в другой инерциальной системе отсчёта, перекрывающейся с предыдущей.
3) Мы обязаны ей языком инвариантов —«универсальным языком», на котором взаимосвязь между событиями может быть описана независимо от их пространственных и временных координат одинаково для любой системы отсчёта. Дальнейшие подробности об этом см. в части е) этого упражнения.
г) Постоянство скорости света, её одинаковая величина во всех инерциальных системах отсчёта, конечно же, противоречит представлениям здравого смысла, возникшего из повседневного опыта, который связан с измерением малых скоростей. Но ведь всё-таки самые тщательные эксперименты заставили нас в конце концов признать правильность этого кажущегося нелепым факта! Например, опыт Майкельсона — Морли (упражнение 33) и позднейшие постановки этого опыта показали, что скорость света изотропна — одинакова во всех направлениях — во всех инерциальных системах. Более того, экспериментом Кеннеди — Торндайка (упражнение 34) было доказано, что и численное значение этой скорости одинаково во всех системах отсчёта, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга. Запроектированные теперь ещё более тщательные измерения смогут проверить этот факт со значительно возросшей степенью точности (см. текст на стр. 25—27).
д) Утверждение мистера Большого Скептика заставляет нас провести разделение всех предсказаний теории относительности на те, которые получили непосредственное подтверждение, и те, которые были подтверждены косвенно или ещё не были проверены. Вот список некоторых из этих предсказаний:
1) Лоренцево сокращение масштабов (упражнение 9). Наблюдаемую величину ионизации воздуха при распространении в нем частиц, обладающих релятивистскими скоростями, можно удовлетворительно объяснить, если учесть лоренцево сокращение для электрических силовых линий, исходящих из этих частиц (упражнение 19). Приводимое ниже объяснение принадлежит перу Е. Дж. Уильямса [первоначальный чёткий анализ см., в частности, на стр. 331 в статье, опубликованной в Proceedings of the Royal Society, серия A, 130, 328 (1931), а более детальный разбор и дальнейшие ссылки можно найти в том же журнале, том 139, 163 (1933)]:
Если бы лоренцево сокращение не сжимало электрические силовые линии в тонкий концентрированный пучок, плоскость которого перпендикулярна направлению движения, то заряженная частица не смогла бы вырывать электроны из атомов, находящихся так далеко от её траектории, и производимая ею ионизация была бы много слабее, чем это наблюдается в действительности. Рассмотрим атом азота, находящийся на наблюдаемом расстоянии 1/3 мм (около 3·10 м) от траектории движения заряженной частицы. Если бы лоренцева сокращения не происходило, то силовые линии электрического поля частицы «обметали» бы атом азота также на протяжении, грубо говоря, 3·10 м пути частицы, и это заняло бы время (при =1) порядка (3·10 м)/(3·10 м/сек)=10^1^2 сек. Такой интервал времени действия электрических сил слишком велик для того, чтобы возбудить атом. В самом деле, уподобим атом маятнику. Медленно сместим точку подвеса маятника сначала в одну, а затем в противоположную сторону (такое смещение аналогично воздействию на атом электрического поля). Произведённое возмущение не возбудит колебаний маятника, так как эффективное время действия перемещающей силы на точку подвеса Tсилы намного превышает характерное (резонансное) время колебаний Tколеб маятника. Для атома это характерное время равно 10^1 сек, и если эффективное время действия электрических сил не будет сравнимым с ним, то не произойдёт ни возбуждения, ни ионизации атома. Так как заряженная частица, являющаяся источником возмущающей силы, уже движется практически со скоростью света, отсутствуют резервные возможности сократить эффективное время её действия на атом азота и сделать его меньше 10^1^2 сек, что требовалось бы для объяснения наблюдаемой ионизации. Вот здесь-то и спасает дело лоренцево сокращение. Благодаря ему эффективная толщина пучка силовых линий, действующего на атом азота, сокращается с 3·10 до 3·101-^2 м, и эффективное время действия сил становится равным не 10^1^2, а 10^1^21-^2 сек. Если заряженная частица имеет скорость =1-10, то 1-^2(2·10)^1/^25·10, и эффективное время действия сил составит всего ~0,5·10^1 сек — величина эта достаточно мала, чтобы произошла ионизация атома азота, хотя он и удалён на миллионы атомных поперечников от линии движения заряженной частицы.
2) Замедление хода часов (упражнение 10). Подтверждается в опытах со сверхбыстрыми элементарными частицами (упражнения 42 и 43).
3) Относительность одновременности (упражнение 11). Подтверждается косвенно (явление «томасовской прецессии», упражнение 103, где анализ основывается на выводах упражнения 52).
4) Парадокс часов (упражнение 27). Для случая часов бытовой конструкции, побывавших в космическом полёте, проверка ещё не произведена. Подтверждается со значительной степенью точности в случае, когда в качестве часов используются ядра атомов железа (упражнение 89).
Самым убедительным и чувствительным методом проверки специфических предсказаний частной теории относительности оказалось использование столкновений сверхбыстрых частиц, энергетического баланса при ядерных превращениях и порождения пар элементарных частиц. Эти вопросы обсуждаются в тексте гл. 2 и в упражнениях к этой главе.
е) Что скажет вам шофёр, если вы станете указывать ему в качестве данных о городах, в которые нужно заехать, их широту и долготу? Всё, что ему нужно узнать, сводится к расстояниям до этих городов. Так же обстоит дело и в пространстве-времени: вполне можно обойтись без координат, указав лишь интервалы между всеми событиями. Эти интервалы никак не зависят от выбора координат, и тем не менее в них содержится вся действительно нужная информация.
ж) Наблюдения связывают нас с физической реальностью; характеризуя их результаты, мы характеризуем и саму «реальность».
37. Эвклидова аналогия — подробный пример
Решение дано в тексте.
38. Преобразование Галилея
Формулы (57) и (58) получаются из формул (37), если в них подставить выражения из строк 4 и 5 правого столбца табл. 8. В ньютоновской механике не делается различия между величинами момента времени для одного и того же события, измеренными разными движущимися относительно друг друга наблюдателями. Иначе говоря, в ньютоновской механике полагают t'=t. Здесь можно перейти к времени, измеренному в секундах, и тогда tсек'=tсек. Ради простоты момент совпадения начал лабораторной системы и системы отсчёта ракеты полагают равным нулю (t=0). В лабораторной системе на оси x положение начала отсчёта ракеты описывается функцией времени vr tceк. Утверждается, что координата x события в системе отсчёта ракеты равна разности соответствующей координаты события и координаты точки начала отсчёта ракеты, взятых в лабораторной системе. Следовательно, имеет место формула
x'
=
x
–
v
r
t
сек
.
Формулы (57) и (59) практически совпадают — разница состоит лишь в выборе единиц измерения времени. Заметим, что
r
t
=
vr
c
t
=
v
r
t
c
=
v
r
t
сек
.
Подставляя это равенство, приведём формулу (57) к виду (59). Однако формулы (58) и (60) нельзя привести к одному и тому же виду одной лишь заменой единиц измерения! Запишите формулу (58) так, чтобы в неё входили vr и tсек. Для этого достаточно разделить обе её стороны на c и учесть, что t/c=tсек :
t
сек
'
=-
vr
c
·
x
c
+
t
сек
=
t
сек
–
x
vr
c^2
.
(58')
Формула (58') отличается от формулы (60) в тексте членом xvr/c^2, которым можно в большинстве случаев пренебречь, так как обычно скорость vr намного меньше, чем скорость света c. Пример. Наибольшая скорость, с которой летал человек, достигается на искусственных спутниках Земли и примерно равна 30 000 км/час или 8000 м/сек. Наибольшее расстояние между космонавтом в спутнике и наблюдателем на Земле имеет место, когда наблюдатель находится на стороне Земли, противоположной положению спутника в этот момент. Тогда расстояние между ними примерно равно диаметру Земли — около 13·10 м. Таким образом, наибольшее значение члена xvr/c^2, достигнутое до сих пор с участием наблюдателей, равно