Физика пространства - времени
Шрифт:
(13·10
м
)
(8·10^3 м/сек)
(3·10 м/сек)^2
=
10
сек
.
Конечно, такой интервал времени доступен измерению современными средствами, но его едва ли понадобится измерять в ходе анализа экспериментов на спутниках хотя бы уже потому, что космонавт обычно поддерживает связь с наземным наблюдателем на обращённой
1) После выхода в свет американских изданий книги Тейлора и Уилера и их сборника решений к упражнениям соотечественники авторов уже успели побывать на Луне. Взяв с форзаца книги величину расстояния от Земли до Луны и учтя, что первая космическая скорость на Луне составляет всего около 1700 м/сек, читатель найдёт, что член xvr/c в формуле (58') и в данном случае остаётся меньше 10 сек, когда астронавты кружат по окололунной орбите. Первую космическую скорость для Луны можно получить, приравняв друг другу центростремительную силу лунного притяжения и центробежную силу, действующую при движении по круговой орбите:
v^2
R = G
M
R^2
(здесь уже произведено сокращение на величину массы космического корабля); в качестве R следует положить величину радиуса Луны, R=1740 км=1,74·10 м; масса Луны равна M=7,3·10^2^2 кг. Конечно, наибольшей скорости космический корабль достигает на обратном пути к Земле, при вхождении в её атмосферу, но тогда слишком мала величина x. — Прим. перев.
39. Пределы применимости преобразования Галилея
Найдём из табл. 8 приближённые выражения функций sh и ch с точностью до членов второго порядка:
sh
,
ch
1
+
2
(в первом случае поправка второго порядка просто равна нулю!). Вид формул (37) с точностью до членов второго порядка малости можно получить, имея в виду, что даже в этом приближении rr. Тогда в этом втором приближении будем иметь
x'
=
x
1
+
r^2
2
–
r
r
,
t'
=-
r
r
+
t
1
+
r^2
2
.
Коэффициенты, входящие в эти уравнения, отличаются от коэффициентов в формулах (57) и (58) менее чем на 1%, если принять
r^2
2
<
10^2
или
r
^2
<
1
50
,
откуда приближённо получим
r
<
1
7
,
что
При старте с места гоночный автомобиль развивает ускорение a=v/t=4 м/сек^2. Если поддерживать такое ускорение постоянным, то скорости v=(1/7)·3·10 м/сек можно достигнуть за срок примерно в t=v/a=10 сек, т.е. около 4 месяцев. Даже с ускорением 7g70 м/сек^2 для достижения этой скорости потребовалось бы около недели!
40. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности
В системе отсчёта ракеты частицы после столкновения разлетаются вдоль оси y со скоростями ±r. В упражнении 20 было показано [формула (49)], что x- и y- компоненты скоростей этих частиц в лабораторной системе отсчёта будут равны
x
=
th
r
=
r
,
y
=
y'
ch r
=±
r
ch r
.
Тангенс угла a/2, образованного осью x и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчёта (см. рис. 53), даётся формулой
tg
2
=
y
x
=
1
ch r
=
1-
r
^2
.
Рис. 147.
Требуется найти величину малого угла /2 (рис. 147), который составляет разность между /4 радиан и /2, откуда получается сам угол как отклонение полного угла , образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от /2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём
tg
–
tg
tg
=
tg
–
=
4
2
.
2
4
2
1
+
tg
·
tg
4
2
Воспользовавшись полученным выше выражением для tg /2 и приняв во внимание, что tg /4=1, а также что для малых справедливо приближённое равенство tg /2/2, мы придём к формуле
2
=
1-1-r^2
1+1-r^2
1-(1-r^2/2)
1-(1-r^2/2)
=
r^2/2
2-r^2/2
r^2
4
;
=