Физика пространства - времени

Уиллер Джон Арчибальд

Для малых углов можно применить разложение cos 1-^2/2 = (1+2,9·10)^1 = 1-2,9·10 .

Отсюда получим теоретическое значение черенковского угла _теор = 2,4·10^1 рад.

Расстояние от окошечка в вакуумной камере до экрана приблизительно равно 12 м, а радиус светового круга составляет около 26,5 см, так что наблюдаемый черенковский угол равен _эксп = 26,5/1200 = 2,2·10^1 рад

в хорошем согласии с предсказанием теории.

47*. Искривление лучей света звёзд Солнцем

Оцените степень отклонения лучей света звёзд Солнцем, исходя из простейших соображений. Обсуждение. Рассмотрим сначала упрощённый пример. Кабина лифта ширины L начинает свободно падать из состояния покоя вблизи поверхности Земли.

В момент начала падения от одной стены кабины в горизонтальном направлении к другой стене направляется узкий луч света. Свободно падающая кабина лифта реализует инерциальную систему отсчёта. Следовательно, световой луч пересечёт кабину по линии, представляющей собой прямую относительно кабины. Но относительно Земли световой луч будет падать, так как падает кабина. Значит, световой луч должен падать в гравитационном поле. Другой пример: луч света от звезды, проходя по касательной мимо земной поверхности, должен подвергнуться гравитационному отклонению (независимо и в дополнение к явлению рефракции в атмосфере). Однако срок, за который луч пробегает мимо Земли, настолько краток, что это отклонение крайне незначительно и не могло быть до сих пор обнаружено в земных условиях. Но вблизи поверхности Солнца ускорение силы тяжести много больше, чем на Земле, и достигает 275 м/сек^2. К тому же свет тратит много больше времени при прохождении мимо Солнца ввиду его огромного диаметра — 1,4·10 м. Исходя из этого диаметра и из величины скорости света, определите «эффективное время падения» луча. Пользуясь полученным временем падения, вычислите полную скорость по направлению к Солнцу, приобретённую лучом за весь период гравитационного взаимодействия. [Максимальное ускорение, действующее в течение этого «эффективного времени», даёт тот же суммарный эффект (проверьте это вычислениями!), что и реально действующее ускорение, переменное по абсолютной величине и по направлению в течение всего периода прохождения луча в гравитационном поле Солнца.] Сравнивая эту поперечную скорость с продольной для светового луча, определите угол его отклонения. Строгий расчёт в частной теории относительности приводит к тому же результату. Однако общая теория относительности, созданная Эйнштейном в 1915 г., предсказала не учитывавшийся прежде эффект, связанный с изменением длин в поле тяготения и приводящий к подобию (дополнительного) преломления света в этом поле, что удваивает величину предсказанного отклонения лучей. [Наблюдаемая величина отклонения: во время солнечного затмения 1947 г.— (9,8±1,3)·10 рад; 1952 г.— (8,2±0,5)·10 рад.]

Ж. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ

48. Геометрическое истолкование

Постройте геометрическое истолкование преобразования Лоренца по следующей схеме:

а) Покажите, что на лабораторной диаграмме пространства-времени мировая линия начала пространственной системы координат системы отсчёта ракеты изображается прямой t' на рис. 64. Это — геометрическое место всех событий, происходящих в начале пространственных координат системы отсчёта ракеты, т.е. это ось t' системы отсчёта ракеты. Покажите, что геометрическое место событий, происходящих в точке x'=1 м в системе отсчёта ракеты,— это прямая, параллельная оси t' на рис. 64; аналогичные заключения следуют о точках x'=2, 3, 4 и т.д. метров.

Рис. 64. Положение на диаграмме пространства-времени в лабораторной системе отсчёта оси времени системы отсчёта ракеты.

б) Покажите, что наклон оси t' по отношению к оси t на рис. 64 определяется выражением

Число метров

пройденного пути

Число метров

прошедшего времени

=

_r

=

th

_r

.

Как меняется этот наклон _r в следующих двух случаях:

1) когда ракета движется очень медленно;

2) когда ракета летит со скоростью, очень близкой к скорости света?

в) Сделаем теперь решающий шаг! Как провести в диаграмме пространства-времени лабораторной системы отсчёта ось x' ракеты? Принцип относительности утверждает, что измеряемое значение скорости света должно быть одинаково в обеих системах отсчёта. На рис. 65 пунктиром проведена мировая линия вспышки света. Покажите, что на основании принципа относительности ось x' системы отсчёта ракеты должна подниматься вправо с тем же наклоном, с каким ось t' системы отсчёта ракеты отклоняется вправо же. Покажите, что геометрические места событий, происходящих в моменты времени t'=1, 2, 3 и т.д. метров в системе отсчёта ракеты, являются прямыми, лежащими параллельно оси x'.

Рис.65. Положение на диаграмме пространства-времени в лабораторной системе отсчёта пространственной оси системы отсчёта ракеты.

Рис. 66. Градуирование пространственной и временной осей системы отсчёта ракеты.

г) Проградуируйте оси координат системы отсчёта ракеты! Проведите гиперболу t^2-x^2=1 (рис. 66). В той точке, где эта гипербола пересекает ось t лабораторной системы отсчёта (где x=0), мы имеем момент времени t=1. Однако интервал t^2-x^2 инвариантен, так что при этом мы получим также (t')^2-(x')^2=1 Следовательно, в точке пересечения гиперболой оси t' системы отсчёта ракеты (где x'=0) мы имеем момент времени t'=1. Из соображений симметрии и ввиду линейности уравнений преобразования отрезок оси t' от точки t'=0 до точки t'=1 можно использовать в качестве единицы масштаба, откладываемого как вдоль оси t', так и вдоль оси x'. Тем самым схема построения завершена. Реализуйте её!

д) Покажите, что если два события одновременны в лабораторной системе отсчёта, они будут лежать на прямой, параллельной оси x лабораторной системы на диаграмме пространства-времени (рис. 67). Покажите, что, если два события одновременны в системе отсчёта ракеты, они будут лежать на прямой, параллельной оси x системы ракеты на диаграмме пространства-времени. Поэтому два наблюдателя не обязательно считают одновременными одни и те же пары событий. Это и есть относительная синхронизация часов.

Рис. 67. Эффект замедления хода времени.

е) Используя линии одновременности на рис. 67, покажите, что для наблюдателя в системе отсчёта ракеты часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, ещё не показывают 1 м времени, когда t'=1 м (т.е. лабораторные часы отстают). Вместе с тем для наблюдателя в лабораторной системе отсчёта часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, уже показывают больше 1 м времени (т.е. отстают часы на ракете). Это и есть замедление хода времени.

Рис. 68. Метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из системы отсчёта ракеты.

ж) Пусть метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта, причём одним концом упирается в начало её пространственных координат (рис. 68). Если измерять его длину в лабораторной системе отсчёта, то мы получим результат типа ab на рис. 68. Измеряя его длину в системе отсчёта ракеты (т.е. регистрируя положения его концов «в один и тот же момент времени»), мы получим результат типа de на том же рисунке. Покажите, что эти результаты измерений дают наблюдаемый эффект лоренцева сокращения в системе отсчёта ракеты. Переходя к рис. 69, покажите, что метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты и упирающийся одним концом в начало её пространственных координат, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

Рис. 69. Метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

з) Нарисуйте диаграммы пространства-времени, иллюстрирующие относительность одновременности, замедление хода времени и лоренцево сокращение длин для тех предельных случаев, когда скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта очень мала или очень велика.

и) Вернёмся к рис. 22 (стр. 54), где на диаграмме пространства-времени описано движение частиц и световых вспышек в двух измерениях. Покажите, что «плоскость одновременности» системы отсчёта ракеты наклонена относительно «плоскости одновременности» лабораторной системы отсчёта. Разберитесь, какую роль играет этот наклон для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси x диаграммы пространства-времени лабораторной системы отсчёта и для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси y диаграммы пространства-времени лабораторной системы.