Физика пространства - времени
Шрифт:
Возьмём в качестве сталкивающихся объектов два одинаковых шара A и B и предположим, что между ними происходит не лобовое (редкое) столкновение, а скользящее (типичное). Всегда можно найти систему отсчёта, движущуюся с такой скоростью, что скорости шаров до столкновения равны и противоположны по направлению (рис. 82). В этой системе отсчёта полный импульс двух одинаковых шаров равен нулю.
Заключение о равенстве нулю полного импульса следует из таких соображений симметрии: допустим, что полный импульс в этой симметричной по скоростям системе отсчёта отличен от нуля. Тогда, как мы сейчас увидим, возникает противоречие. Если другие два шара начинают двигаться в точности так же, как A и B на рис. 82, причём они отличаются лишь тем, что на место шара A помещён шар B, а на место B — A, ситуация не может измениться. Поэтому полный импульс должен остаться тем же самым как по величине, так и по направлению, что и полный импульс
Что же произойдёт после столкновения? Шары должны и тогда двигаться во взаимно противоположных направлениях с равными скоростями. Если бы это было не так, то сумма их импульсов не была бы равна нулю и полный импульс не сохранялся бы при соударении в нарушение принятого требования. Ограничимся (лишь временно) анализом соударений, являющихся упругими по следующему определению. Если просматривать кинофильм, изображающий процесс столкновения, в обратном порядке, то в этом процессе не произойдёт никаких изменений, кроме того, что частица A стала двигаться теперь справа налево, а частица B — слева направо, тогда как раньше всё было наоборот, В этом смысле упругое соударение — это такое соударение, которое обратимо. Если изображённое на рис. 82 соударение является в этом смысле упругим, то каждый шар изменяет лишь направление своего движения, но не абсолютную величину скорости (не считая момента удара), и в результате эффект соударения сводится к простому повороту векторов скорости обеих частиц. В этой системе отсчёта можно выбрать направления осей x и y таким образом, что x-компоненты скоростей обеих частиц не изменятся при столкновении, тогда как их y-компоненты просто изменят знак.
Описание столкновения в трех разных системах отсчета
Рис. 83. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.
Нас интересует анализ y-компоненты полного импульса и сохранение этой компоненты при таком столкновении. Для этого проще всего рассмотреть столкновение в такой системе отсчета, где шар A движется только в направлении оси y. Это система отсчета ракеты, летящей вправо по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной x-компоненте скорости шара A. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 83. Имеется также система отсчета, в которой шар B движется только в направлении оси y. Это лабораторная система отсчета, движущаяся влево по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной x-компоненте скорости шара B. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 84.
Рис. 84. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в лабораторной системе отсчёта.
Мы стремимся узнать всё, что только можно, об импульсе частицы (скорость которой может быть очень близка к скорости света), исходя из данных ньютоновской физики об импульсе частицы с очень малой скоростью. Для этих целей анализ скользящего соударения подходит идеально. Мы можем подобрать такое столкновение, при котором частица-мишень обладает сколь угодно малой скоростью не только до соударения, но и после него (частица B на рис. 84). Тогда импульс частицы-мишени может быть получен по ньютоновской формуле p=m как до, так и после соударения. Исходя из этого, легко определить изменение импульса медленной частицы (B) в процессе соударения, что позволит нам найти изменение импульса и даже самый импульс быстрой частицы (A). Исходя из симметрии схемы столкновения, очевидно, что приобретённый частицей B импульс вдвое превышает величину её импульса до соударения, так что
1
2
·
Изменение
импульса B
=
m
dy
dt
.
Импульс пропорционален величине перемещения частицы за единицу собственного времени
Частица A передаёт часть импульса частице B, но не за счёт изменения абсолютной величины своего импульса, а за счёт изменения направления своего вектора импульса. Иными словами, переданный импульс составляет меньшую и известную нам сторону треугольника импульсов. Другие две (равные друг другу) стороны этого треугольника являются б'oльшими и неизвестны нам. Однако мы знаем, чему равны как длинные, так и короткая стороны подобного треугольника — треугольника перемещений. Из пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников мы сразу же получаем (см. рис. 85) выражение для импульса быстро движущейся частицы A:
p=m
dr
d
=m
Перемещение за единицу
собственного времени
.
(70)
Компоненты этого вектора по отдельности 1) равны:
p
x
=
m
dx
d
,
p
y
=
m
dy
d
,
p
z
=
m
dz
d
(71)
в лабораторной системе отсчёта.
1) Почему не px а px? В четырёхмерной геометрии пространства-времени в отличие от эвклидовой геометрии пространства существенно расположение индекса (см. подробности относительно стандартных обозначений в примечании на стр. 157).
В системе отсчёта ракеты компоненты импульса даются выражениями, аналогичными формулам (71) с той лишь разницей, что в них фигурируют dx', dy' и dz' — компоненты перемещения, измеренные в системе отсчёта ракеты. Интервал собственного времени d' между двумя близкими событиями на мировой линии частицы обладает одним и тем же значением при вычислении исходя из данных, полученных на ракете, и при вычислении на основании лабораторных измерений («инвариантность интервала»). Поэтому излишне различать d и d'. Кроме того, величина dy' (в системе отсчёта ракеты) равна величине dy (в лабораторной системе отсчёта), а также dz=dz' Следовательно, компоненты импульса
p
y
=
m
dy
d
и
p
z
=
m
dz
d
,
перпендикулярные к направлению движения ракеты относительно лабораторной системы отсчёта, не зависят от скорости этого движения.
Импульс аналогичен перемещению в том отношении, что поперечные компоненты этих обоих векторов не зависят от скорости движения наблюдателя. Такая аналогия этих двух векторов имеет очень простую причину: импульс получается из перемещения (x, y, z) путём умножения на величину m/, одинаковую во всех инерциальных системах отсчёта!
Массу наиболее целесообразно определять как не зависящий от скорости коэффициент в выражении для импульса
Из исследования импульса, проделанного на рис. 85, ясно, что величина m — это масса в том смысле, в каком её понимают в ньютоновской механике. Поэтому m есть величина постоянная, одинаковая для всех скоростей, всех положений и всех моментов времени. Всё различие между релятивистской формулой для импульса (например, m·dx/d) и соответствующей ньютоновской формулой (m·dx/dt) сводится поэтому к различию между собственным и лабораторным временем, а не к различию в m при этих двух описаниях природы. В некоторых прежних изложениях теории относительности ньютоновское выражение для импульса (m·dx/dt) исправлялось не путём простой замены dt на d, принятой сейчас, а путём введения «массы движения», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами типа Ньютона, например:
p
x
релятивистская
величина
=
m
движения
·
dx
d
.
Эта масса движения должна тогда быть равна
m
движения
=
m
dt
d
=
m
1-^2
.
(72)
Такое обозначение ещё можно иногда встретить. Однако в физических рассуждениях полезнее всего использовать величины, одинаковые во всех системах отсчёта, такие, как m и d. Этот факт сейчас получает всё более широкое признание. Поэтому мы будем обычно понимать под термином «масса» не зависящую от скорости величину m.