Физика пространства - времени, Уиллер Джон Арчибальд

Физика пространства - времени

на обложку

Уиллер Джон Арчибальд

Шрифт:

Рис. 85. Вывод релятивистского выражения для импульса из закона сохранения импульса в случае скользящего соударения.

Частица B движется настолько медленно, что ньютоновское выражение для импульса представляет собой сколь угодно хорошее приближение для её импульса: (Импульс)=m·yB/tB Здесь tB — время, за которое частица B пролетает расстояние yB от нижней границы рисунка до точки соударения. Это лабораторное время по своей величине сколь угодно близко к собственному времени полёта B по той же причине,

а именно потому, что скорость B может быть выбрана сколь угодно малой. (Пример: при =0,01 относительное различие величин и t составляет 5·10). Поэтому импульс B можно записать как m·yB/B. Зная величину импульса B, можно найти величину импульса pA частицы A, сравнивая изображённые здесь диаграммы для импульса и для перемещения A (правило подобных треугольников). Для частицы A y-компонента перемещения может быть сделана равной y-компоненте перемещения частицы B (симметричное расположение «пола» и «потолка», о которые ударяются соответственно A и B): yA=yB=y. Промежуток собственного времени между моментами соударения и удара об пол (потолок) также один и тот же для A и B: A=B.

Доказательство 1) Движение частицы A в системе отсчёта ракеты совпадает с движением частицы B в лабораторной системе отсчёта (ср. рис. 83 и 84). Поэтому собственные времена полёта равны одно другому: (A)система ракеты = (B)лабораторная система.

2) Но собственное время между двумя событиями (столкновение и удар) одинаково во всех системах отсчёта, т.е. (A)лабораторная ракеты = (A)система ракеты.

3) Следовательно, (A)лабораторная ракеты = (B)лабораторная система.

что и требовалось доказать. Конечно, лабораторные часы показывают совершенно разные продолжительности полётов частиц A и B, если A обладает скоростью, близкой к скорости света: (tA)^2лабораторная ракеты = = (A)^2лабораторная ракеты + (xA)^2лабораторная ракеты >> >> (A)^2лабораторная ракеты = = (B)^2лабораторная ракеты = (tB)^2лабораторная ракеты .

Поэтому импульс частицы A в конце концов выражается непосредственно через величины, которые относятся лишь к движению A: pA = m

A .

Переходя от конечных разностей к производным и вспоминая, что импульс и перемещение обладают одним и тем же направлением, получим p = m

d .

Это и есть релятивистская формула для импульса, справедливая для частицы, обладающей сколь угодно высокой энергией.

Релятивистский импульс сводится к ньютоновскому в пределе малых скоростей

Насколько велико различие между релятивистским и ньютоновским выражениями для импульса? Релятивистское выражение для импульса должно сводиться к ньютоновскому, когда скорости частиц малы. Такие медленные частицы проходят путь, много меньший одного метра за один метр времени (dr/dt). Тогда собственное время (dt)^2-(dr)^2=1-^2·dt при любом перемещении медленной частицы очень мало отличается от координатного времени dt:

(для медленной частицы),

причём для =0,01 это равенство справедливо с точностью до 5 : 100 000 и стремится к тождественному совпадению при ->0. При этом релятивистское выражение для импульса p=m·dr/d совпадает с ньютоновским выражением p=m·dr/dt величина m одна и та же (инвариант m!).

В некоторых случаях удобнее выражать импульс через параметр скорости частицы , а иногда через её скорость =th . Тогда

(dt)^2-(dr)^2

m·dr/dt

–

1/2

1-^2

m th

1-th^2

m th

ch^2

–

sh^2

1/2

ch^2

m th ch

ch^2-sh^2

m sh

так что

m sh

1-^2

релятивистский

импульс,

размерность массы

(73)

Другой вид имеет ньютоновское выражение для импульса:

m th

ньютоновский

импульс,

размерность массы

(74)

Эти два выражения для импульса различаются множителем

1-^2

который определяет отношение между лабораторным временем и собственным временем, регистрируемым часами, летящими вместе с частицей. Этот множитель совпадает с коэффициентом в формуле замедления хода времени (см. упражнение 10). Присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой в процессах столкновений сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на неверную в этом случае ньютоновскую формулу для импульса p=m, где m — постоянная, а не может превышать единицы.

Таким образом, выражение для импульса быстро движущихся частиц существенно отличается от предсказываемого теорией Ньютона. Однако процедура определения массы некоторой новой частицы, принявшей участие в процессе столкновения, в принципе одна и та же как в релятивистской, так и в ньютоновской механике. Её суть может быть выражена по-разному: 1) как принцип действия и противодействия; 2) как принцип, связывающий отдачу ружья с импульсом пули; 3) как закон сохранения импульса.

Определение массы неизвестной частицы по упругому столкновению её со стандартной частицей

Рис. 86. Скорости до и после лобового упругого столкновения, наблюдаемые в той системе отсчёта, где полный импульс равен нулю.

Рассмотрим специально лобовое упругое столкновение: 1) стандартной частицы массы m (пусть величина этой массы произвольно устанавливается Международным комитетом мер и весов) и 2) исследуемой частицы, обладающей пока неизвестной массой m величину которой нам нужно определить. Говоря, что столкновение является лобовым и упругим, мы имеем в виду существование такой системы отсчёта, в которой зарегистрированные до и после соударения данные о скоростях частиц обнаруживают симметрию, изображённую на рис. 86. Эта симметрия состоит в том, что полный импульс меняет свой знак на обратный в результате соударения. Но ведь полный импульс при соударении сохраняется! Значит, этот полный импульс должен быть равен нулю. Итак, импульсы наших двух частиц после столкновения должны удовлетворять условию