Физика пространства - времени, Уиллер Джон Арчибальд

Физика пространства - времени

на обложку

Уиллер Джон Арчибальд

Шрифт:

Из этого соотношения можно получить выражение неизвестной массы в единицах известной массы стандартной частицы:

(-dx/d)

(dx/d)

– x

(t)^2-(x)^2

(75)

Здесь x

и x — расстояния, пройденные каждой из двух частиц из точки соударения до точек наблюдения, а t и t — соответствующие времена движения. В случае упругого столкновения нерелятивистских частиц правая сторона равенства (75) принимает ньютоновский вид

– x/t

x/t

ньютоновский

предел

(76)

Простота релятивистского определения импульса не может быть вполне оценена, пока импульс не рассматривается как пространственная часть 4-вектора энергии-импульса. И только тогда становится ясно, что баланс энергии в процессах столкновения может служить косвенной проверкой закона сохранения импульса, так что к бесчисленному множеству непосредственных экспериментальных способов проверки закона сохранения импульса добавляется ещё этот косвенный способ.

12. 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА

Для того чтобы представить себе импульс и энергию как части более обширного единого целого, полезно вспомнить, как пространство и время объединяются, становясь частями также более обширного единого целого. Рассмотрим переход частицы из мировой точки (события) A в пространстве-времени в соседнюю мировую точку B. Идея объединения пространства и времени состоит в том, чтобы рассматривать 4-вектор, соединяющий A и B 1). Компоненты этого 4-вектора (смещения dx, dy, dz и dt) имеют разные значения в зависимости от того, в какой системе отсчёта рассматривается этот 4-вектор. Несмотря на произвольный способ описания 4-вектора AB, который мы выберем, этот 4-вектор оказывается вполне строго определён. Не только интервал имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта! Что ещё более важно, расположение самих событий A и B, а значит, и положение 4-вектора AB в пространстве-времени определяются так же строго, как положение двух городских ворот, независимо от того, какие координаты мы используем, и даже независимо от того, используем ли мы вообще какие бы то ни было координаты.

1) В 1872 г. в своей лекции в ознаменование вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн провозгласил новую точку зрения на геометрию, что оказало решающее влияние на современную геометрию. Ключевой пункт его идеи состоял в проведении различия между геометриями разного рода, исходя из законов преобразования компонент величин. Например, можно с полной ясностью увидеть различие между эвклидовой геометрией и лоренцевой геометрией реального физического мира на основании используемого ныне определения вектора:

4-вектор определяется заданием в каждой инерциальной системе отсчёта четырёх чисел (различных в разных системах!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами отсчёта по формулам преобразования Лоренца (32).

3-вектор определяется заданием в каждой эвклидовой системе координат трёх чисел (компонент, различных в разных системах координат!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами координат по соответствующим формулам преобразования поворота геометрии Эвклида (29).

Зная, что некоторая величина — вектор, и зная значения её компонент лишь в одной системе отсчёта, можно сразу же найти значения её компонент в любой другой системе отсчёта, используя соответствующий 3- или 4-мерный закон преобразования компонент.

Энергия как четвёртая компонента 4-вектора энергии-импульса

Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения AB не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:

1) Берётся 4-вектор смещения AB с компонентами

(см. рис. 87).

Рис. 87. 4-вектор перемещения AB, соединяющий события A и B на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда y- и z- компоненты перемещения dy и dz одновременно равны нулю.

2) С помощью 4-вектора AB строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени

(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2

взятый между мировыми точками A и B компоненты этого касательного вектора

изображены на рис. 88.

Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения AB (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени d. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны

d =

(dt)^2-(dx)^2 =

1-(dx/dt)^2 =

1-^2 = = 1 = 1 = 1-th^2

ch^2 - sh^2

1/2

ch^2 ch^2 =

ch^2-sh^2 = ch

d =

(dt)^2-(dx)^2 =

dt/dx

1-(dx/dt)^2 =

1-^2 = = th = th = 1-th^2

ch^2 - sh^2

1/2

ch^2 ch^2 =

th ch

ch^2-sh^2 = sh .

(В приведённом здесь частном случае полная пространственная компонента перемещения dr равна x-компоненте перемещения dx. В более общем случае пространственная часть перемещения имеет вид dr=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2, и тогда она даёт пространственную компоненту единичного вектора касательной, равную

d =

1-^2 sh .

3) 4-вектор энергии-импульса получается при умножении этого единичного вектора на постоянную m; его компоненты равны