Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых
Шрифт:
В его первой статье речь шла о квадратуре круга, но во многих других номерах мы находим статьи по оптике, разложению на множители, исследованию наклонных плоскостей и сопротивления балок нагрузке.
Кроме того, Лейбниц создал ежегодный журнал, где печатались статьи, рецензии и интересные результаты исследований членов Берлинской академии. Первый номер этого издания, под названием Miscellanea Beronilensia, вышел в 1710 году. Значительная часть статьей в нем принадлежала самому Лейбницу, который писал о таких различных вещах, как, например, его арифметическая машина, математика и механика, изучение происхождения наций на основе лингвистики, открытие фосфора и северное сияние. И это еще без учета его статей в соавторстве.
Мы упомянули ранее, что Лейбниц
КАК СЧИТАТЬ БОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНО
С тех пор как человек научился считать, он применяет это умение во всех областях своей жизни. С развитием цивилизации сложность вычислений возрастала: приходилось осуществлять каждый раз все более трудоемкие подсчеты, связанные с торговлей, путешествиями, астрономией и так далее. Тогда- то человек и начал придумывать различные способы быстрых и надежных вычислений. Так появились счетные инструменты, призванные механизировать некоторые вычислительные операции. Они позволяли исключить или минимизировать ошибки, которым подвержено любое ручное вычисление.
Первые попытки вычислять проще и качественнее были «пальцевыми». Некоторые приемы позволяют производить с помощью пальцев более сложные операции, чем сложение и вычитание. Например, чтобы быстро умножить на 9, существует правило, состоящее в том, чтобы протянуть две руки и начать считать с края, обычно слева, и загнуть палец, соответствующий числу, на которое мы хотим умножить 9. Для получения результата достаточно сосчитать количество пальцев слева от согнутого (это будет число десятков) и после согнутого (это будет число единиц). На рисунке 3 мы видим, что результат умножения 9x4 равен 36.
Выдающемуся человеку недостойно терять время на рабский труд — вычисление, которое может осуществить любой с помощью машины.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Если мы хотим умножить два числа больше 5, достаточно загнуть на каждой руке количество пальцев, соответствующее результату вычитания 5 из каждого множителя. Загнутые пальцы на обеих руках суммируются и умножаются на 10, и к этому прибавляется произведение числа поднятых пальцев на обеих руках. На рисунке 4 мы можем увидеть результат умножения 8 (8-5 = 3 загнутых пальца, в этом случае на правой руке) х9(9-5 = 4 загнутых пальца). Так как у нас загнуто 7 пальцев, а поднято 2 на одной руке и 1 на другой, то произведение 8x9 = 7x10 + 1x2 = 72.
РИС.З
РИС. 4
СЧЕТЫ
Системы вавилонян, майя, египтян, греков или римлян, среди прочих, позволяли осуществить подсчет, но были сложными для вычислений. Только подумайте об умножении XIII на XXI, пользуясь римскими цифрами. Но так как инженерное дело и торговля должны были развиваться, пришлось придумать методы, позволявшие осуществлять вычисления, необходимые для нужд цивилизации. Так было создано первое в истории вычислительное устройство: счеты.
С небольшими различиями и некоторыми вариациями счеты появились повсеместно почти одновременно более 3000 лет назад. Это было, кроме того, наиболее долговечное изобретение, которое использовалось еще в XX веке.
Возможно, изначально счеты представляли собой всего лишь ряд канавок на песке, куда помещались calculus («камешки» на латыни, откуда происходит слово «калькуляция»). Затем их конструкция
РИС. 5
Изображение римских счетов. Их столбики представляют собой единицы, десятки, сотни, обозначенные римскими символами I, X и С, за которыми следуют единицы, десятки и сотни тысяч. Правая часть использовалась для представления дробей.
На рисунке 5 показаны воссозданные римские счеты. В них есть ряд вертикальных линий, где каждая косточка имеет значение в единицу в нижней части и в пять единиц — в верхней.
РИС. 6
Китайские счеты. Читаются справа налево, следуя десятичному порядку: единицы, десятки и так далее. Считаются шарики у центральной поперечины.
На счетах представлено число 16 336, поскольку в десятках два шарика в пять единиц равны одной единице разряда выше.
Имеющиеся символы соответствуют символам римской системы счисления. У некоторых римских счетов были специальные линии для работы с дробями. Широко известны в наше время китайские счеты, называющиеся суанъпанъ, которые можно найти в сувенирных магазинах. Как видно на рисунке, они состоят из деревянной рамки с рядом спиц, разделенных на две части. Верхняя часть, называемая небо, имеет две костяшки, каждая из которых равна 5, а в нижней части (земля) находятся пять костяшек, каждая из которых равна единице. Способ счета — приближение соответствующих костяшек к центральной разделительной поперечине. Справа налево появляются единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Каждый раз, когда на одном уровне образуется целый десяток, он удаляется и добавляется одна единица на уровне выше.
Японские счеты, или соробан, похожи на китайские, но в небе находится только одна костяшка, а на земле — четыре, чего достаточно для осуществления арифметических операций. Русские счеты состоят из рамы со спицами, на которые нанизано по десять костяшек без всякого разделения.
В течение нескольких веков счеты были главным устройством для вычислений; существовала даже профессия абакиста, осуществлявшего расчеты с помощью этого инструмента. Когда в Европе начали вводить арабские цифры, позволяющие перейти к позиционной системе счисления, абакисты встретили нововведения крайне враждебно, призывая оставить классический способ вычисления. Известна иллюстрация, сделанная Грегором Рейшем для работы Margarita philosophica {«Жемчужина философии»), на которой встречаются абакист, в данном случае Пифагор, и Боэций — алгорист, использующий новые арабские цифры. Несмотря на свои явные преимущества, позиционная система счисления полностью прижилась в Европе только в XVI веке.
ДЖОН НЕПЕР
Джон Непер (1550-1617), барон Мерчистон, теолог и математик. Главной в своей жизни он считал религию, а математикой занимался ради развлечения, но вошел в историю науки как создатель логарифмов — инструмента, над которым работал более 20 лет и который продемонстрировал в 1614 году в своей работе «Описание удивительной таблицы логарифмов».
Открытые им логарифмы не имели никакого определенного основания, но английский математик Генри Бригс убедил его ввести основание 10. Поскольку Непер был уже болен, Бригс сам вычислил десятичные логарифмы первых тысячи чисел. Основываясь на той же самой идее нахождения инструмента для облегчения арифметических операций, он помог Джону Неперу в 1617 году, то есть в год смерти ученого, опубликовать работу «Рабдология, или две книги о счете с помощью палочек», в которой были представлены таблицы Непера.