Хаос и структура
Шрифт:
Вот это–то обстоятельство и определяет собой то, что тут естественнее всего остановиться в последовательной дедукции диалектических категорий числа. Здесь число оказывается не только смыслом, не только фактом и не только осмысленным фактом, но этот осмысленный факт дан для иного, открыт для восприятия всем иным, в собственном смысле выражен. Осмысленный факт может ведь и быть дан просто, сам по себе, сам для себя. Это — начальная и наименее полная форма выражения. Когда же осмысленный факт оказывается данным и для иного, он в собственном смысле есть выражение. Он еще не распался на множество отдельных фактов, но покамест пребывает единым, цельным и нераздельным фактом. Однако это[т] факт расписан извне, разрисован и различен по своему смыслу, он — картина для всего иного. И вот поэтому–то естественно остановиться именно здесь, полагая в этом месте границу между основными, первичными категориями (аксиомами) и дальнейшими, вторичными категориями (теоремами).
В–четвертых, установивши эту наиболее естественную границу для аксиоматической области, мы можем установить и общую базу для дедукции всех основных аксиом. Эта общая база, сформулированная нами в предыдущем параграфе,
II. Число есть едино–раздельный акт полагания.
III. Число есть становящийся акт полагания.
IV. Число есть ставший акт полагания.
V. Число есть выразительный акт полагания.
Сюда необходимо присоединить, что II суждение соответствует в § 21 II и III категориям, потому что установленные там утверждение (II) и отрицание (III) оба вместе определяют собой именно едино–раздельный акт (или акт как координированную раздельность). Соответственно III аксиома из указанных только что соответствует IV тамошней категории, IV аксиома — V категории, V аксиома — VI категории. Эта схема аксиом, с другой стороны, [есть ] точное воспроизведение категориальной схемы в § 31, 1е.
Наконец, в–пятых, эта общая основа всех основных аксиом, получая таким способом более развитой вид, звучит все еще весьма отвлеченно, пока мы не примем во внимание чисто числовых свойств числа. Ведь «число», как оно фигурирует в установленных нами пяти основоположениях, взято все еще как отвлеченная, общедиалектическая категория. Число есть определенное понятие, а именно — понятие числа, и в этом виде мы его получили [16] в нашей общей системе диалектики. Чтобы его конкретизировать, мы не оставили все категории, предшествующие числу, в их чистом, изолированном и общедиалектическом виде. Мы их локализовали на фоне общего и единого изучаемого нами в данном случае субъекта — числа и получили упомянутые пять основоположений числа. После этого пора, однако, для дальнейшей конкретизации перейти от числа как одной из общедиалектических категорий к числу как числовой, как математической, в данном случае — как общематематической категории. Число в виде общедиалектической категории интересно до тех пор, пока мы ищем ориентировать [17] ее на фоне общей диалектики, т.е. когда пытаемся существенно отличить категорию числа от всякой иной категории. Но когда эта общедиалектическая категория числа найдена, изучена и формулирована, уже нет нужды останавливаться на ее общедиалектических свойствах; тут полезно перейти к числу в его уже чисто числовых, а не вообще в его категориальных свойствах. В этой плоскости определениями числа будет уже не та или иная диалектическая модификация актов полагания, но тот или иной числовой момент числа. Этот общедиалектический язык, где главное место принадлежит термину «акт полагания», должен быть заменен другим, уже чисто математическим языком; эта общая диалектика должна быть переведена на язык чисел. Мы должны поставить и решить вопрос: какие математические термины в точности соответствуют формулированным нами модификациям акта полагания и, следовательно, какие числовые конструкции возникают при воплощении указанных пяти основоположений, если всю нашу диалектику мы станем переводить с языка понятий на язык чисел?
16
В рукописи: получим.
17
Так в рукописи.
Только теперь мы можем ставить и решать этот вопрос. Покамест мы не знали общедиалектического места числа и покамест мы не знали тайны общедиалектического сопряжения его категориально–конститутивных моментов, нечего было и думать философствовать в числовой области. В числовой области мы могли бы заниматься только чисто числовыми же операциями, т. е. строить не философию, а саму математику, поскольку числовая область, взятая сама по себе, есть чистая формальность и лишенность всякого понятийного содержания, и, оставаясь только в ней одной, мы ничего и не можем получить, кроме самих чисел, т.е. кроме самой математики. Теперь же, зная диалектический смысл числа вообще и диалектический смысл его конститутивных моментов, мы можем с твердой верой приступить к числовому содержанию числа и убежденно искать в нем соответствия тому, что мы получили относительно общей категории числа. Ведь общие законы логики везде одни и те же; и, твердо оперируя с ними в общелогической области, мы можем надеяться на твердое и уверенное оперирование с ними и в чисто числовой области. И это будет уже не просто построение самой числовой области, т. е. не сама математика, но именно логика числа, или философия математики, диалектические основы математики.
Так, из общей отвлеченной основы математической аксиоматики возникает сама математическая аксиоматика, и притом не просто в диалектической выведенное™ (чем необходимо было заниматься предварительно и что мы сейчас и выполняли), но и в своей чисто математической значимости.
Не будем, однако, удивляться, что аксиоматика начнется у нас с того, что как раз имеет меньше всего математический смысл. Поскольку сейчас нам предстоит формулировать аксиому именно принципа, постольку эта аксиома должна иметь максимально обобщенный вид и постольку нам тут еще не придется
Выставляемая нами аксиома числового перво–прин–ципа обладает многими интересными свойствами, категориальный аналог которых мы встречали в предыдущем анализе. Остановимся вкратце на самом главном.
Число есть прежде всего некая совокупность. В совокупности для простоты пусть находится три или четыре полагания, хотя «единица» и «нуль» тоже есть некоторые специфические совокупности. Спрашивается, только ли эти три акта полагания различны или они еще и тождественны? То, что они различны и раздельны, это известно всем. Но мысль требует, чтобы они были и тождественны. Когда я ставлю на листе бумаги точку и потом рядом с нею другую точку, то они, конечно, различны, различны по местоположению, по жирности чернил и пр. Но возьмем две математические точки. Чем они отличаются друг от друга? Ничем. Они, конечно, мыслятся как бы в двух разных положениях, напр. на прямой при определенном отстоянии одна от другой. Но ясно, что это отстояние, или расстояние, не имеет ровно никакого отношения к самим точкам и каждая из них может обсуждаться независимо от своего абсолютного положения на линии, на плоскости и т.д. Итак, все точки суть некое абсолютное тождество, самотождество, и в последней своей смысловой глубине они абсолютно неразличимы. Это же самое касается и актов мысленного полагания, т. е. всякого числа вообще. Но если в числе «три» эти три отдельные акта неразличимы, то тогда и само «число», взятое как таковое, тоже внутри себя неразличимо, оно есть некое абсолютное тождество. Более того. Если мы возьмем все возможные числа, то поскольку каждое из них есть абсолютная неразличимость, то и все числа, взятые вместе, — все возможные, действительные и необходимые числа суть тоже некая общая и абсолютная неразличимость и самотождество. И вот это–то и есть числовой перво–принцип. Это и значит, что число есть чистый, т.е. в себе неразличимый, абсолютно простой, акт смыслового полагания.
Скажут: но ведь это же не есть число; число есть раздельность, а вы утверждаете полную неразличимость. На это надо сказать, что мы нисколько не утверждаем, что число есть эта абсолютная неразличимость. Абсолютная неразличимость и самотождество есть не самое чиСло, но перво–принцип числа, и аксиома об абсолютном числовом аш0–тождестве не есть суждение о самих математических числах, но лишь то первое и исходное положение, на котором будут базироваться и конкретно–математические суждения. Естественно, что база чем–то специфически отличается от того, что на этой базе построено. Мало того. Мысль требует, чтобы эта неразличимость как раз и была принципом различимости, и это мы сейчас разъясним.
Каждая вещь есть данная вещь именно потому, что она не есть что–нибудь иное. Это утверждение на первый взгляд кажется шуткой и тавтологией. Однако тут высказывается фундаментальное положение философии, без признания которого невозможно и прикоснуться ни к какой теории определения. Если вещь есть нечто отличное от иного и, следовательно, есть она сама, то это возможно только тогда, когда мы внутри нее не фиксируем ровно никаких различий. Вещь есть именно она сама: в этом простейшем и очевиднейшим утверждении с абсолютной необходимостью требуется, чтобы она мыслилась вне всяких своих частей. Это делается до полной осязательности ясным, если мы начнем рассуждать со стороны этих самых «частей».
Пусть данная вещь состоит из пяти частей. Если мы будем фиксировать каждую часть отдельно, целой вещи мы никак не получим. В этом дереве, которое я сейчас вижу в своем окне, отдельный лист не есть дерево, потому что тогда был бы деревом и всякий отдельный лист, который валяется на земле, и вместо видимого мною в окне одного, и единственного, дерева было бы столько же деревьев, сколько я вижу на нем листьев. Ствол дерева гоже не есть дерево, потому [что ] тогда бревна, лежащие тут же на дворе, тоже были бы деревьями. Корень дерева тоже не есть дерево, ветки дерева тоже не есть дерево. И т.д. и т.д. Спрашивается: где же само–то дерево? Совершенно очевидно, что из отдельных частей дерева нельзя получить самого дерева. Но отдельные части дерева есть то, что в нем различимо. Значит, из различимой стороны дерева нельзя получить самого дерева. Само дерево есть неразличимость, абсолютно самотождество. Только это и дает возможность выделить дерево именно как дерево на фоне всего двора, которое я вижу в своем окне. Не будь этой неразличимости внутри дерева, я не мог бы фиксировать дерево как дерево, оно распалось бы на тысячи частей, которые сами не суть дерево, и я совсем не отличил бы дерева от всего прочего. Ясно, что неразличимость дерева оказалась необходимым принципом для его различения на фоне прочих предметов и, следовательно, необходимым принципом и для всяких различений внутри него самого. Внутренняя неразличимость вещи есть условие для ее внутренней различимости и раздельности.