Хаос и структура
Шрифт:
а) Разумеется, выразительная форма, вообще говоря, есть расчлененная форма (как это вытекает из характеристики выражения в § [69]). Этой расчлененности вполне соответствует и сам континуум, но сейчас мы увидим, что она не единственная. Что такое расчлененность континуума, который сами же мы все время характеризуем как нечто нерасчлененное и сплошное? Для ответа на этот вопрос необходимо опять–таки учитывать своеобразие сферы чистого становления. Ведь мы уже прекрасно знаем и много раз убеждались на конкретном анализе, что становление только тогда и возможно, когда есть чему становиться, т. е. когда есть нечто нестановящееся. В этом смысле становление обязательно предполагает едино–раздельную расчлененность. Последняя, как мы это хорошо видели на предыдущем анализе, присутствует в континууме как бы сзади, за этой сплошной завесой становления, но это присутствие совершенно необходимо, так как реально становление совершается только в отношении этого идеального расчленения. Мы так и говорили (§ [ ]), что нас интересует не самое , но все его воплощения в инобытии, которые к тому же всякий раз берутся как нечто совпадающее, как нечто целое. Следовательно,
Можно поэтому считать континуум некоторого рода интеллигибельной материей, материей — потому что он есть воплощение эйдоса, а интеллигибельной — потому, что все эти воплощения рассматриваются как идеальный предмет, т. е. потому, что они предполагают сферу чистого смысла и сами оказываются стихией чистого смысла, хотя и своеобразной. В стихии смысла материя и эйдос есть ведь одно и то же; материя тут есть только принцип инаковости, различенности эйдетического, в то время как за пределами чистого смысла материя есть принцип фактической реальности, т. е. не просто различения, а силового воплощения, т. е. вещественного притягивания и отталкивания. Пользоваться материей или полагать реальность в сфере чистого смысла — это значит только различать, сохраняя все целое, внутри которого установлены различия; что различно, то для мысли и существует. Пользоваться же материей за пределами чистого смысла — это значит полагать соответствующую реальность как некий факт [по отношению ко ] всем другим фактам и целому, и притом противополагая их вещественно, т. е. в силовом отрыве от этих последних. Так как континуум мы трактовали в виде проблемы чистого смысла, то ясно, что наше есть не только сплошность [91] , но и вся расчлененность, которая содержится в последовательных возведениях исходного в степень. Тут материя и эйдос есть одно и то же, а поэтому континуум есть так же все те расчлененные числа и операции, которые были затрачены на его конструирование. В этом отношении континуум уже есть очень определенная смысловая расчлененность; и, если угодно, в этом смысле он состоит из точек (что, конечно, не должно нарушать его сплошности [92] как и составленность из бесконечного числа точек нисколько не мешает абсолютной его неделимости). Можно сказать, что континуум тоже есть счетное множество, но—такое счетное, в котором счет производится при помощи чисел II класса.
91
В рукописи: склонность (ниже—склонности).
92
В рукописи: склонность (ниже—склонности).
b) Второй вопрос, поставленный выше, также не терпит отлагательства, если мы стремимся к диалектической системе. В самом деле, что могло бы быть больше самого континуума? Пусть мы имеем какой–нибудь отрезок прямой. Как бы мал или велик он ни был, мощность всех действительных точек на ней совершенно одна и та же. Это мощность континуума. Кантор доказал даже гораздо больше [93] . Именно, оказывается, что мощность континуума двух измерений — такая же, как и мощность континуума одного измерения. И то же самое, оказывается, имеет место и относительно континуумов любого числа измерений, так что континуум бесконечного (или счетного) числа измерений по мощности своей равен континууму одномерному [94] . Действительных точек на данном отрезке не увеличивается и не уменьшается не только от увеличения или уменьшения его длины; но их количество — одно и то же и в пределах любой плоской фигуры, любого трехмерного тела и любого тела любого числа измерений. Это поразительное открытие способно озадачить любую философскую голову. Но мы не очень этому удивимся, так как уже привыкли от бесконечности ожидать самых невероятных вещей. Если понятно, что бесконечность вообще не увеличивается и не уменьшается, то в конце концов понятно и учение Кантора о равномощности с одномерным континуумом как угодно многомерного континуума.
93
Journal fur d. reine u. angcwandte Mathemat. 1878. Bd 84.
94
В рукописи: одноместному.
Если все это так, то мы оказываемся как будто бы в трагическом положении: никакими действиями нельзя в дальнейшем выйти за пределы континуальной мощности. Фактически, однако, дело обстоит иначе. Ведь и , говорили мы, недоступна никакому ни увеличению, ни уменьшению, и все же мы получили в результате увеличения целый ряд разных порядков шив конце концов , то, что уже имеет совсем другую природу, чем и чем любые ее порядки. В чем тут дело? Дело в том, что для бесконечности совсем не совпадают между собою мощность и тип множества, вполне фактически совпадающие для конечных множеств. Мощность каждого числа второго класса (между и )—совершенно одна и та же — счетная мощность. Типы же чисел второго класса везде разные, т. е. везде разная упорядоченность. Также и после континуума мы находим мощности, которые все подряд являются континуальными. Но, применивши сюда идею порядка, мы сразу видим, что у нас получаются континуумы вполне различных порядков, т. е. различного числа измерений.
Вот эта идея и является здесь решающей. Подобно тому, как малейший сдвиг точки со своего места уже порождает отрезок, на котором мощность всех действительных чисел равна
Отсюда выясняется вся принципиальная важность трансфинитных чисел классов, начиная с третьего. Уже есть переход от одномерного континуума к двухмерному, следовательно, третий с класс чисел дает двухмерный континуум, четвертый (начиная с 3) дает трехмерный континуум и т. д. С момента начинается континуальная сплошность бесконечного числа измерений континуума. И, соответственно, , , и т. д.
Мы, однако, не станем анализировать все эти числовые бездны, чтобы не впасть в потенциальную бесконечность и тем самым не нарушить принципа транс–финитности. Для нас достаточно выставить просто множество всех чисел, куда войдут и все континуальные, как и неконтинуальные порядки; множество всех чисел есть вполне упорядоченное множество, обладающее целым рядом совершенно определенных свойств. Но мы [не] станем здесь строить теорию этого замечательного множества, а только закрепим его терминологически как тотальность, понимая под этим все, что вообще больше континуума, — по преимуществу же счетно–мер–пый континуум.
Если уже просто континуум, как указано выше, есть вне–числовая выразительная форма числа, то сфера тотальности, которая есть раскрытие общеконтинуального принципа, оказывается наивысшей развитой выразительной формой вне–числового осмысления числа вообще. Этим, надо думать, исчерпывается вся сфера чисел вообще.
11. а) Остается еще одна область вопросов, которую нам необходимо выставить тоже на первый план, оставаясь, конечно, на позиции чисто принципиального исследования. Это, вообще говоря, вопрос о взаимопред–полагаемости и в то же время взаимонесводимости всех рассмотренных выше диалектических ступеней вне–числового осмысления. Математики здесь блещут точностью и общеобязательностью своих заключений. Для характеристики этого разброда . Н. Лузин [95] воспользовался «демоном» Максвелла, который владеет каждым математиком и внушает ему одни вкусы, исключая другие.
95
Я. Я. Лузин. Современное состояние теории функций действительного переменного. М.; Л., 1933, 52.
«1. «Демон» Брауэра. Его область есть область целого конечного, и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит «вне математики».
2. «Демон» Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное — это лишь fagon de parler [96] и находится «вне математики».
3. «Демон» Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество — «вне математики».
96
способ выражения (.).
4. «Демон» Лебега. Его область есть область мощности континуума. Всякая операция, требующая континуум простых шагов, доступна этому «демону»; поэтому определение верхней меры еще лежит в области математики. Но мощность 2е, мощность совокупности всех функций, уже отрицается Лебегом и не по силам его «демону».
5. «Демон» Цермело. Его поле операций — всякие мощности, в частности, всякое множество «демон» Цермело может «сделать» вполне упорядоченным».
Что может сказать философ по этому поводу? Можно только улыбнуться наивности этих философских рассуждений и похвалить за откровенное признание математиками субъективизма своей философии. Сказать, что существует только конечное и нет ничего бесконечного, или сказать, что существует только бесконечное и нет никаких подразделений в сфере бесконечного, — это значит слишком откровенно раскрывать свои ни на чем не основанные, но весьма интимные потребности и симпатии.
Приходится и здесь покинуть эту зыбкую и наивную почву кустарных домыслов и обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики. Но суд диалектики беспощаден.
b) Для диалектики совершенно нет никаких оснований предпочитать одну категорию другой. Если га или иная категория как–нибудь образовалась, т.е. имеет тот или иной смысл, то этого уже достаточно для того, чтобы ее нельзя было уничтожить никакими силами. Если конечное, бесконечное и разные виды бесконечного являются хоть какими–нибудь логическими категориями (пусть не столь богатыми, как можно было бы предполагать), то этим уже все решено: никакую категорию нельзя просто уничтожить, ее можно только подчинить другой или, наоборот, другую категорию подчинить ей, можно, наконец, при желании, и совсем о ней не размышлять, но если она хоть что–нибудь значит, то мыслить ее можно только как необходимую. Следовательно, поскольку в предыдущем мы именно установили смысл выразительно–числовых категорий, постольку все они для пас обязательны, и мы не можем пожертвовать ни бесконечным в пользу конечного, ни конечным в пользу бесконечного. Речь может идти только о диалектической системе этих категорий, т.е. о том, в каком смысле одна из них предполагает другую и как они объединяются в одно целое.