Характер физических законов
Шрифт:
Как видите, этот закон отличается от предыдущего, ибо он говорит нам, что происходит в некоторой точке, если известно, что происходит рядом с ней. Ньютонова же формулировка позволяет сказать, что происходит в данный момент времени, если мы знаем, что происходит в предыдущий момент. Во времени она переводит нас плавно от момента к моменту, но в пространстве заставляет скакать из одного места в другое. Вторая формулировка локальна и во времени, и в пространстве, потому что она говорит о соседних точках. Но в математическом смысле обе формулировки эквивалентны.
Существует еще и третья формулировка, основанная на качественно иных понятиях. Если вам не нравится действие на расстоянии, то я показал вам, как можно без него обойтись.
Рис. 17
Вот вам пример, сколько прекрасных способов существует для описания Природы. Если нам говорят, что в Природе должна господствовать причинность, вы можете взять ньютонову формулировку; если настаивают, что Природа должна обладать свойствами локальности, – к вашим услугам вторая формулировка; если же вас убедили, что Природу нужно описывать при помощи принципа минимума, – берите третью. Какая же из них правильна? Если они математически неравнозначны, если из них вытекают разные следствия, то нам остается лишь выяснить на эксперименте, как именно поступает Природа. К нам могут подойти люди и завести философский спор, что одна им нравится больше, чем другая; но опыт научил нас, что в предсказании поступков Природы философские предчувствия не оправдываются. Мы просто должны представить себе все возможности и затем все их перепробовать. Но в том случае, о котором мы сейчас говорили, все теории совершенно эквивалентны. С точки зрения математической все эти три формулировки – ньютонова, локальная полевая и принцип минимума – приводят к совершенно одинаковым последствиям. Что же тогда делать? Вы прочтете в любой книге, что мы не имеем права отдать научное предпочтение одной из них. И это правда. В научном смысле они эквивалентны. Нет такого опыта, который позволил бы нам сделать этот выбор, потому что все следствия одинаковы. Но психологически они различны. Во-первых, они могут нравиться или не нравиться в философском плане; эту болезнь можно вылечить только тренировкой. Во-вторых, психологическое различие между ними становится особенно важным, когда вы отправляетесь на поиски новых законов.
Пока физика неполна и мы пытаемся открыть новые законы, различные возможные формулировки могут послужить путеводными нитями к пониманию того, что произойдет при других обстоятельствах. В этом случае они психологически неравноценны, ибо толкают нас на разные догадки относительно того, как может выглядеть закон в более общей ситуации. Например, Эйнштейн понял, что электрические сигналы не могут распространяться быстрее света. Он догадался, что это общий принцип. (Подобной игрой в догадки занимались и мы, когда брали закон сохранения момента количества движения и переносили его с одного частного случая, для которого он доказан, на все явления природы.) Эйнштейн догадался, что это общее свойство природы, и в том числе гравитации. Если сигналы не могут распространяться быстрее света, то формулировка, подразумевающая мгновенные взаимодействия, очень плоха. Поэтому в обобщенной теории гравитации, созданной Эйнштейном, метод Ньютона безнадежно слаб и чудовищно сложен, тогда как метод полей и принцип минимума точны и просты. Какой из двух предпочесть – мы до сих пор не решили.
На самом деле оказывается, что в квантовой механике ни один из них не точен в том виде, в каком я их сформулировал, а сам факт существования принципа минимума является следствием того, что в микромире частицы подчиняются квантовой механике. Сейчас наилучшим законом нам представляется комбинация принципа минимума и локальных законов. Сегодня мы думаем, что законы физики должны иметь локальный характер и в то же время сочетаться с принципом минимума, но наверняка мы этого не знаем. Если в системе знаний таится какая-то погрешность, но построена система на удачных аксиомах, то впоследствии вы обнаружите, что неверна лишь одна из них, а остальные справедливы; в этом случае потребуются лишь незначительные переделки. Но если вы строили систему на других аксиомах, то она может вся развалиться из-за того, что целиком опирается на одну-единственную слабую деталь. Мы не можем сказать заранее, не прибегая к интуиции, как лучше всего строить систему, чтобы прийти к новому закону. Мы постоянно должны иметь в виду все возможные способы описания; поэтому физики занимаются вавилонской математикой и уделяют мало внимания аксиоматическому построению своей науки.
Одна из поразительных особенностей природы – многообразие возможных схем ее истолкования. Это обусловлено самим характером наших законов, тонких и четких. Например, свойство локальности существует только потому, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Если бы там стоял куб, мы не имели бы локального метода. С другой стороны, тот факт, что сила связана с быстротой изменения скорости, позволяет записывать законы, пользуясь принципом минимума. Если бы сила, например, была пропорциональна самой скорости перемещения, а не ускорению, то это было бы невозможно. Стоит сильно изменить законы, и вы обнаружите, что число возможных формулировок сократилось. Мне это всегда представлялось загадкой. Я не понимаю, почему правильные законы физики допускают такое огромное количество разных формулировок. Они похожи на крокетный шар, который проходит сразу через несколько ворот.
Наконец, я хотел бы сделать несколько более общих замечаний о связи математики с физикой. Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им, в сущности, безразлично, о чем они говорят. Им даже не нужно знать, о чем они говорят, или, как они сами выражаются, истинны ли их утверждения. Объясню почему. Вы формулируете аксиомы: «То-то и то-то обстоит так, а то-то и то-то обстоит так». Что дальше? Дальше можно заниматься логикой, не зная, что означают слова «то-то и то-то». Если аксиомы полны и сформулированы точно, то человеку, строящему доказательство, необязательно понимать значение слов, для того чтобы получить новый вывод на языке, которым он пользуется. Если в одной из аксиом стоит слово «треугольник», то в выводах математика будут какие-то утверждения относительно треугольников, однако при получении этих выводов он не обязан знать, что за вещь – треугольник. Я же могу вернуться к началу его рассуждений и сказать: «Треугольник – это фигура с тремя сторонами, которая представляет собой то-то и то-то». И тогда я пойму его новые выводы. Другими словами, математик готовит абстрактные доказательства, которыми вы можете воспользоваться, приписав реальному миру некоторый набор аксиом. Физик же не должен забывать о значении своих фраз. Это очень важная обязанность, которой склонны пренебрегать люди, пришедшие в физику из математики. Физика – не математика, а математика – не физика. Одна помогает другой. Но в физике вы должны понимать связь слов с реальным миром. Получив какие-то выводы, вы должны их перевести на родной язык и на язык природы – в медные кубики и стеклянные шарики, с которыми вы будете экспериментировать. Только так вы сможете проверить истинность своих выводов. В математике этой проблемы не существует вовсе.
Вполне понятно, что доказательства и способы мышления, найденные математиками, становятся для физиков могучими и полезными орудиями. Но и рассуждения физиков часто приносят пользу математикам.
Математики любят придавать своим рассуждениям возможно более общую форму. Если я скажу им: «Я хочу поговорить об обычном трехмерном пространстве», – они ответят: «Вот вам все теоремы о пространстве п измерений». – «Но у меня только три измерения». – «Хорошо, подставьте n = 3!» Оказывается, что многие сложные теоремы выглядят гораздо проще, если их применить к частному случаю. А физика интересуют только частные случаи; он никогда не интересуется общим случаем. Он говорит о чем-то конкретном; ему не безразлично, о чем говорить. Он хочет обсуждать закон тяготения в трехмерном пространстве; ему не нужны произвольные силы в пространстве п измерений. Он стремится к сокращениям, потому что математики готовят свои выводы для более широкого круга проблем. И поступают предусмотрительно, ибо в конце концов бедный физик всегда вынужден возвращаться и говорить: «Простите, но в прошлый раз вы хотели мне что-то сказать о четырех измерениях».