Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №11

Журнал «Домашняя лаборатория»

— мультипликативная погрешность;

— аддитивная погрешность;

— аддитивно-мультипликативная погрешность (при нескольких влияющих величинах).

В зависимости от количества влияющих величин и их взаимной зависимости, а так же зависимости между ними и измеряемой величиной могут быть выделены следующие модели погрешности измерительного канала:

— скалярная модель с независимыми сигналами (одна влияющая величина ?{t), p_x? = 0, x_h(t) = 0, ?_h(t) = 0);

— скалярная модель с зависимыми сигналами (одна влияющая величина ?(t), p_x? не = 0, x_h(t) = 0, ?_h(t) = 0);

—

скалярная модель с учетом гармонических составляющих (одна влияющая величина ?(t), p_x? не = 0, x_h(t) не = 0, ?_h(t) не = 0);

— векторная модель с независимыми составляющими (вектор влияющих величин [?] = [?₁(t),?₂(t),?₃(t)….?_n(t)], матрица корреляции вектора [?] нулевая);

— векторная модель с зависимыми составляющими (вектор влияющих величин [?] = [?₁(t),?₂(t),?₃(t)….?_n(t)] матрица корреляции вектора [?] ненулевая);

Рассмотрим основные случаи, при этом опустим громоздкие математические выкладки и промежуточные вычисления.

Суммарная погрешность измерительного преобразователя, при статистической независимости между составляющими, может быть определена по формуле [4]:

(3)

где ?_осн — основная погрешность средства измерений; ?_дин — динамическая погрешность; ?_доп — дополнительная погрешность; n — число влияющих величин.

Выражение (3) также может быть представлено в следующем виде:

(4)

где ?(?_i) — функция влияния, или коэффициент влияния, когда она линейна, или функция совместного влияния нескольких влияющих величин ?(?_i,?_j); ?_i— i– тая влияющая величина; ?_0i— значение влияющей величины принятое при градуировке ИП; i = 1,2…n; j = 1, 2…n, при i не = j.

Мгновенное значение дополнительной погрешности может быть определено из разности сигнала с выхода преобразователя и входного сигнала:

?_доп(t) = (y(t) — x(t)) = ax(t)[?(t) — ?₀]. (5)

Так как в выражение (4) дополнительная погрешность входит в виде квадрата своего значения, то более удобно определять сразу ее квадрат, поэтому (5) запишем в виде:

?²_доп(t) = a²x²(t))[?(t) — ?₀]².

В технологических измерениях, как правило, интерес представляет не мгновенное, а среднее значение измеряемого параметра, а, следовательно, и расчет дополнительной погрешности необходимо проводить в «среднем» за период времени.

Выражение

для расчета математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности без учета динамических характеристик каналов воздействия измеряемой и влияющих величин имеет вид [10]:

M{?²_доп} = a²[?²_x?²_? + ?²_x?²_?(1 + 2p²x_?) + ?²_x?²_? + ?²_??²_x + 4?_x?_??_x?_?p_x?]. (6)

где p_x? — коэффициент корреляции между измеряемой и влияющей величинами.

Здесь и в дальнейшем под обозначением ?_?, будем понимать смещение математического ожидания влияющей величины относительно значения ?₀, которое принято при градуировке измерительного преобразователя.

В том случае, когда в сигналах входной и влияющей величин присутствуют гармонические составляющие, определяемые соответственно как:

x_h(t) = C_xsin(?_xt),

?_h(t) = C_?sin(?_?t).

где C_x и C_? — амплитуды гармонических составляющих соответственно входного и влияющего воздействий; ?_x и ?_? — их частоты.

Выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности с учетом гармонических составляющих коррелированных сигналов измеряемой и влияющей величин имеет вид [5]:

В том случае, когда гармонические составляющие случайных процессов x_h(t) и ?_h(t) коррелированы, т. е. ?_x = ?_?, выражение (7) усложняется:

где ф — сдвиг фаз между гармоническими составляющими.

При воздействии на измерительный преобразователь n статистически независимых влияющих величин (рис. 1), не коррелированных с входным воздействием, выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности имеет вид

где a_i — коэффициент влияния i– той влияющей величины.