Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №11

Журнал «Домашняя лаборатория»

Рис. 1. Структура модели возникновения дополнительной погрешности при наличии множества влияющих воздействий.

При воздействии на ИП n статистически зависимых влияющих величин, которые коррелированы с входным воздействием, выражение (9) существенно усложняется и принимает вид:

Во всех предыдущих расчетах предполагалось, что тракты прохождения измеряемой и влияющей величин являются безинерционными, или, искажениями формы сигналов за счет инерционности

можно пренебречь. В том случае, когда в каналах присутствует инерционность (рис. 2), расчет математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности осуществляется по иной схеме.

Рис. 2. Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий

При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.

Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:

?(t) = x(t) — y₁(t) = x(t) — [a•y(t)e(t) + y(t)].

Определим квадрат суммарной погрешности:

?²(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]² = [x(t) — y(t)]² + a²y²(t)e²(t) — 2ay(t)[x(t) — y(t)].

В выражении (11) присутствуют 3 составляющие. Первая определяет квадрат динамической погрешности ?²_дин; вторая — квадрат дополнительной погрешности ?²_доп; третья — член, обусловлен наличием корреляционной связи между дополнительной и динамической погрешностями.

Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида:

S_x(?) = 2?²_x?/?(?² + ?²),

где ? — параметр функции СПМ, а передаточная функция каналов воздействия сигналов ИП описываются инерционным звеном первого порядка:

W(j?) = 1/(1 + j?T))

где Т — постоянная времени.

Дисперсии измеряемой и влияющей величин соответственно равны [12]:

?²_y = ?²_x/(1 + ?T₁),

?²_e = ?²_?/(1 + ?T₂),

Примем

так же, как наиболее характерный случай, что корреляционная матрица входного воздействия и влияющей величины определена как:

где а_х, а_? и а_х?, а_?х, с = ?_x?_?p_x? — параметры соответственно корреляционных и взаимных корреляционных функций измеряемого и влияющего воздействий.

Математическое ожидание квадрата динамической погрешности равно:

M{?²_дин} = ?_xВ₁/(1 + B₁)

где В₁ = а_xТ₁.

Математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности:

где В₂ = а_?Т₂.

Математическое ожидание корреляционной составляющей суммарной погрешности определяется из следующего выражения:

(14)

где B₃ = a_x?T₁; B₄ = a_x?T₂.

Максимальное увеличение суммарной динамической и дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи между этими погрешностями, в рассмотренном примере, не превышает 20 %. Такое увеличение суммарной погрешности является несущественным и, поэтому, во многих случаях, корреляционной составляющей можно пренебречь.

В том случае, если дополнительная погрешность является чисто аддитивной, то математическое ожидание ее квадрата определяется только статистическими параметрами влияющей величины:

M{?²_доп} = b2[?²_? + ?²_?]. (15)

где b — коэффициент влияния аддитивной дополнительной погрешности.

На рис. 3 представлена структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности.

Рис. 3. Структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности измерительного преобразователя

Дополнительная погрешность на выходе ИП равна:

?_доп(t) = ax(t)?(t) + b?(t).

Математическое ожидание квадрата мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности, при учете корреляции между измеряемой и влияющей величиной, равно: