Истина в пределе. Анализ бесконечно малых
Шрифт:
Всё вышеизложенное позволяет заявить, что выход «Анализа» ознаменовал появление анализа бесконечно малых. «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» — великолепный пример, позволяющий оценить акт творения в математике во всем его великолепии: при прочтении книги Ньютона мы становимся свидетелями процесса возникновения анализа бесконечно малых. Так, если мы углубимся в чтение «Анализа» и попытаемся увидеть уже известные нам термины и понятия современного математического анализа, это можно будет сравнить с просмотром детских фотографий человека, с которым мы познакомились уже в зрелом возрасте: сквозь еще не оформившиеся, детские черты уже проступает облик знакомого нам взрослого человека.
Закончив рукопись «Анализа», который принес автору известность среди британских математиков, Ньютон показал свой труд Барроу. Тот предложил
Чтобы продемонстрировать опасения Ньютона, далее мы подробно расскажем о письмах, которые Барроу отправил Коллинзу. Сначала, 20 июля 1669 года Ньютон разрешил Барроу всего лишь уведомить Коллинза, что у него находится рукопись «Анализа», запретив упоминать имя автора и название работы: «Один мой друг, обладающий блестящими способностями, отправил мне позавчера несколько писем, в которых описывает метод вычисления размерностей величин, подобный методу Меркатора, но намного более общий применительно к решению уравнений. Я отправлю вам рукопись с одним из ближайших писем и верю, что она доставит вам удовольствие».
Одиннадцать дней спустя Ньютон разрешил Барроу отправить Коллинзу копию «Анализа» при условии, что имя автора будет сохранено в тайне, а рукопись будет возвращена. Обратите внимание, как деликатно Барроу указывает, что Коллинз может ознакомиться с рукописью, но делать копию не следует, иными словами, рукопись предназначена только для Коллинза: «Отправляю вам обещанные письма моего друга, которые, как я надеюсь, доставят вам немалое удовольствие. Я прошу, чтобы вы вернули мне письма, когда сочтете нужным, после того как прочитаете их. Мой друг согласился передать мне письма только на этих условиях, когда я впервые спросил его разрешения отправить их вам. Поэтому прошу вас как можно скорее дать мне знать, что вы получили их, чтобы избавить меня от беспокойства. Чтобы вы могли как можно раньше ознакомиться с ними, я ни минуты не думал о том, чтобы послать их вам обычной почтой».
Когда Коллинз ознакомился с «Анализом» и передал восторженный отзыв Барроу, Ньютон позволил сообщить Коллинзу свое имя, а также разрешил передать рукопись другим: «Я рад, что письма моего друга доставили вам удовольствие. Имя этого юноши — Ньютон, он член нашего колледжа, обладает великолепными способностями и добился в этом вопросе потрясающих успехов. Передайте письма, если пожелаете, достопочтенному господину Броункеру». (Лорд Броункер в то время был главой Лондонского королевского общества.) Вестфолл комментирует: «Это наглядно показывает, что Ньютон, ведущий математик Европы, боялся публиковать свою работу».
Следует привести и другую версию этой истории, автором которой является сам Ньютон. Она изложена в Epistolae posterior- втором письме, которое Ньютон отправил Лейбницу. Письмо содержит немало автобиографических фрагментов. Вот цитата из него: «Когда появилась блестящая книга Logarithmotechnia Николаса Меркатора, я стал уделять этим вопросам [степенным рядам и анализу флюксий] меньше внимания, подозревая, что Меркатору был хорошо известен способ разложения в степенной ряд путем извлечения корней, равно как и разложение в ряд с помощью дробей, либо же другие обнаружат, как это делается, до того как я вступлю в возраст, достойный написания подобного труда. В тот самый момент, когда появилась эта книга, краткое изложение этого метода рядов было сообщено господином Барроу господину Коллинзу. В этом изложении указывались площади и длины кривых, поверхности и объемы тел, составленных из линий, а также способы нахождения этих линий по известным свойствам фигур. Этот метод я ранее проиллюстрировал на примере различных рядов».
Коллинз вскоре вернул рукопись «Анализа» Ньютону через Барроу, однако прежде переписал ее от руки. Эту копию вместе с письмами Барроу обнаружил Уильям Джонс среди документов Коллинза, приобретенных в 1708 году. Увидев эту копию, Джонс предложил Ньютону опубликовать «Анализ». Книга увидела свет в 1711 году. Когда же разгорелся спор о том, кто является истинным первооткрывателем анализа, эти бумаги послужили доказательством первенства Ньютона.
Как указывает Вестфолл, «Анализ» оказал большое влияние на карьеру Ньютона. Возможно, именно благодаря публикации этого труда он получил пост лукасовского профессора. Эта должность была создана в Кембридже Генри Лукасом. Стипендия, учрежденная Лукасом для тех, кто занимал эту должность, сделала ее одной из самых престижных в научном мире. В то время эта должность была единственной из восьми существовавших профессорских должностей по направлению математики и натурфилософии, если говорить современным языком. Профессор, занимавший этот пост, должен был вести курсы по геометрии, астрономии, географии, оптике, статике и другим математическим дисциплинам, а также ежегодно передавать в университетскую библиотеку тексты минимум десяти своих докладов. При невыполнении этих условий полагался штраф. Однако Ньютон, который нарушал их достаточно часто, по-видимому, никогда не был оштрафован.
Летом 1669 года Барроу, занимавший этот пост уже пять лет с момента его учреждения, начал подумывать об отставке. Скорее всего, он не был очарован гениальностью Ньютона (хотя иногда утверждают обратное), его решение было продиктовано другими причинами. Барроу был не только математиком, но и богословом и хотел последовать своему призванию. Кроме этого, он также хотел получить более влиятельный пост. Спустя год после отставки он получил место капеллана, а два года спустя возглавил Тринити-колледж. Совмещать должность главы колледжа и лукасовского профессора запрещалось, хотя Барроу вполне мог получить разрешение милостью короля. Как бы то ни было, Барроу ушел в отставку, и 29 октября 1669 года по его предложению Ньютон был провозглашен лукасовским профессором.
Остаток 1669 года Коллинз и Барроу занимались тем, что уговаривали Ньютона опубликовать «Анализ». Однако они не преуспели в этом, и, как пишет Вестфолл, имея в виду спор с Лейбницем, «нерешительность Ньютона посеяла зерна ожесточенной вражды».
Вторая работа Ньютона, его главный труд о бесконечно малых «Метод флюксий» (De methodis serierum et fluxionum), была написана два года спустя, но опубликована лишь в 1736 году. В этой книге Ньютон представляет понятие флюенты — величины, изменяющейся в зависимости от времени, и флюксии флюента — производной этой величины по времени. Вот что он пишет об этих понятиях: «Величины, которые я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита: v, х, у, z, чтобы их было возможно отличать от других величин, которые рассматриваются в уравнениях как известные и определенные и которые поэтому обозначаются первыми буквами алфавита a, b, c и так далее. Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюэнты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями, или быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными:
Важно отметить, что Ньютон представил понятия флюенты и флюксии по отдельности как часть теории и привел алгоритмические правила, с помощью которых можно было легко вычислить флюксию флюента. Затем он применил свою теорию для решения задач о касательных, квадратурах, максимумах и минимумах. Как мы уже упоминали, именно благодаря этому Ньютон стал считаться одним из создателей математического анализа. Так, для решения задач о максимумах и минимумах он предложил следующий способ: «Когда величина есть возможно наибольшая или возможно наименьшая, то в этот момент времени она не течет ни вперед, ни назад. Действительно, если бы она могла еще течь вперед, то есть возрастать, то это значит, что до того она наверняка была меньше, чем стала, а после того станет больше, чем она есть. Дело обстояло бы обратным образом, если бы она текла назад или убывала. Поэтому найди ее флюксию согласно проблеме I и положи ее равной нулю». Это знакомый нам способ вычисления производной функции и приравнивания ее к нулю.