История новоевропейской философии в её связи с наукой
Шрифт:
Однако Лейбниц столь радикального вывода не делает. Он заявляет, что все же "лучше было ограничиться небольшим количеством истин этого рода, казавшихся ему (Евклиду.
– П.Г.) наипростейшими, и вывести из них другие истины... чем оставить множество их недоказанными и, что еще хуже, предоставить людям свободу допускать все, что угодно, в зависимости от настроения". Ибо даже при помощи таких, далеко не первичных аксиом были сделаны великие открытия, которых не было бы, "если бы древние не захотели двинуться вперед до того, как они не докажут аксиом, которыми они вынуждены были пользоваться".
Но в таком случае возникает другой вопрос: если без предлагаемого Лейбницем анализа возможно создание столь логически стройной и все-таки весьма достоверной науки, как античная геометрия, то так ли уж необходим
В. Каринский прав: складывается такое впечатление, что Лейбниц принимает, помимо высшего рода достоверности, который может быть обеспечен лишь анализом понятий, также и некоторый как бы промежуточный род и к нему как раз относит аксиомы Евклида.
Древние философы, рассуждает Лейбниц, так же как и математики, именно в Греции начали требовать строгости доказательства, стремясь таким образом найти первичные аксиомы, и, хотя до конца выполнить это требование в математике им и не удалось, все же достигнутое ими намного превзошло то, что было сделано до них. Греческие математики не считали возможным принимать за науку то, что дает чувственное представление. Этим, по Лейбницу, "могут довольствоваться только люди, имеющие в виду практическую геометрию как таковую, но не те, кто желает иметь науку, которая сама служила бы усовершенствованию практики. Если бы древние придерживались этого взгляда и не проявили строгости в этом пункте, то, думаю, они не пошли бы далеко вперед и оставили бы нам в наследство лишь такую эмпирическую геометрию, какой была, по-видимому, египетская геометрия и какой является, кажется, китайская геометрия еще и теперь. В этом случае мы оказались бы лишенными прекраснейших открытий в области физики и механики, которые мы сделали благодаря нашей геометрии и которые неизвестны там, где последней нет".
Как видим, Лейбниц, так же как и его предшественники Кеплер, Коперник, Галилей и Декарт, видит прямую преемственность между механикой нового времени и античной математикой. Их суждения мы должны принимать во внимание, размышляя о том, возникла ли в результате научной революции XVII столетия абсолютно новая, не имеющая ничего общего с античной и средневековой, форма знания или же между новой и старой наукой была существенная содержательная связь.
Вернемся, однако, к обоснованию математики. Непоследовательность в рассуждениях Лейбница об основаниях математики отнюдь не случайна. Здесь мы имеем дело с одной из центральных проблем, унаследованной наукой нового времени от античности: в чем состоит природа суждений геометрии, чем обусловлена всеобщность и необходимость этих суждений?
Говоря о том, что довести до конца анализ понятий весьма трудно, Лейбниц, как мы помним, заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое понятие, то, пожалуй, это только понятие числа. Определение числа ближе всего к совершенному, а это последнее имеет место в тех случаях, "когда... анализ вещи простирается в нем вплоть до первичных понятий, ничего не предполагая, что нуждалось бы в доказательстве априори своей возможности...". Такое определение понятия вещи Лейбниц называет реальным и сущностным, отличая от него, как мы уже выше упоминали, определение реальное и причинное, которое "заключает в себе способ возможного произведения вещи". В случае причинного определения доказательство возможности, подчеркивает Лейбниц, тоже осуществляется априорно, но эта априорность, так сказать, более низкого качества, чем первая, потому что здесь анализ не доводится до конца - до тождественных положений.
С реальным причинным определением, т.е. с определением предмета посредством его порождения, или конструкции, мы имеем дело в геометрии. Мы порождаем геометрические понятия - линии, треугольники, окружности и т.д.
– путем движения точки в пространстве. Таким образом, в качестве предпосылок геометрии, что видно на примере аксиом, постулатов
Здесь мы уже можем четко представить себе, в чем состоит расхождение между Лейбницем и Декартом. Для Декарта протяжение - это первичное понятие, совершенно отчетливое и далее не разложимое, составляющее исходный принцип его понимания природы и в то же время (поскольку природа для Декарта есть воплощение математических законов) лежащее также и в основе математики. Именно поэтому для Декарта математика - это прежде всего геометрия, притом геометрия уже не вполне античная, поскольку понятия числа и величины у Декарта, в сущности, не различаются. У Лейбница, напротив, протяжение - это не первичное, а производное понятие, оно не обладает отчетливостью и образовано не одним только умом, но умом и воображением, а значит, оно есть гибрид, как это доказывал Платон. А отсюда следует, что это понятие не может быть первым началом ни для понимания природы, ни для обоснования математики. В этом пункте Лейбниц гораздо ближе к античной философии, чем Галилей и Декарт.
Вот еще одно рассуждение Лейбница, проливающее свет на его понимание математического знания, которое создается при помощи двух различных способностей - воображения, или общего чувства, и разума. "Так как душа наша сравнивает (например) числа и фигуры, находящиеся в цветах, с числами и фигурами, заключающимися в осязательных ощущениях, то необходимо должно существовать внутреннее чувство, где соединяются восприятия этих различных внешних чувств. Это и есть то, что называют воображением, которое обнимает как понятия отдельных чувств, ясные, но смутные, так и понятия общего чувства, ясные и отчетливые. Эти принадлежащие воображению ясные и отчетливые идеи составляют предмет математических наук, то есть арифметики и геометрии, - представляющих науки чистые, и их приложений к природе, составляющих математику прикладную... Не подлежит сомнению, что математические науки не были бы демонстративными и состояли бы в простой индукции или наблюдении, - которые никогда не могут обеспечить полную и совершенную всеобщность истин, заключающихся в этих науках, - если бы на помощь чувствам и воображению не приходило нечто более высокое, которое может доставить только один ум".
Те понятия, которые целиком разложимы и могут быть сведены к тождественным утверждениям, или, иначе говоря, которые полностью аналитичны, Лейбниц считает созданными самим умом - ближе всего к таким понятиям, как мы уже знаем, стоит, по Лейбницу, понятие числа. Что же касается геометрических понятий, то они поддаются анализу настолько, насколько в их создании принимает участие ум, и неразложимы в той мере, в какой оказываются основанными на общем чувстве, т.е. на воображении. Именно поэтому доказательство возможности геометрического понятия ведется не через анализ, а через конструкцию, т.е. путем порождения предмета, соответствующего понятию.
4. Конструкция как принцип порождения объекта
Вопрос о достоверности геометрии служил предметом непрекращавшихся споров на протяжении XVI-XVII вв. между представителями схоластики и защитниками новой науки. Схоластики при этом апеллировали к Аристотелю, у которого, как мы знаем, математика обосновывалась иначе, чем в работах Галилея, Декарта, Гоббса и др., поскольку Аристотель не считал ее "первой наукой" и по ее онтологическому статусу ставил после метафизики и физики. В схоластике в качестве аргумента приводилось соображение Аристотеля о том, что, в отличие от метафизики и физики, дающих причинное объяснение явлений, математика не может объяснять из причин.