Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Коллектив авторов

Норберт Винер.

У нас появится пространство, в котором есть живые клетки, обозначенные черным цветом, и мертвые, обозначенные белым. Теперь остается только установить правила развития, то есть детально описать, как эти клетки будут развиваться в своей среде. Если вышеупомянутый рисунок представляет собой фазу 1, у нас должен быть какой-то критерий, чтобы перейти к фазе 2 и, разумеется, чтобы перейти от фазы 2456 к фазе 2457. Говоря математическим языком, нам нужен алгоритм, который, если известно состояние фазы N, позволяет сконфигурировать состояние фазы N + 1. Поскольку в нашей решетке на данный момент нет никаких странных

элементов вроде пакменов или тому подобных, на каждую из наших клеток могут действовать только другие клетки из ее окрестности. Одна из самых простых окрестностей — это окрестность по сторонам света (север, юг, запад, восток); то есть клетка может взаимодействовать только с клетками, расположенными над ней, под ней или по сторонам от нее. В этом случае она называется окрестностью фон Неймана. Если к этому мы прибавим диагонали, то получим так называемую окрестность Мура. Становится понятно, что возможности определения окрестностей почти безграничны. Мы можем сказать, например, что влиять будут только клетки, которые находятся на определенном расстоянии г. Существуют очень сложные правила окрестностей, которые описываются посредством матричных функций, но мы их не будем рассматривать в этой книге. Начнем с вышеуказанного клеточного пространства и определим правила, которые действуют для окрестности Мура.

1. Клетки с четным количеством живых соседних клеток умирают.

2. Клетки с нечетным количеством живых соседних клеток порождают живую клетку.

РИС. 1

РИС. 2

Таким образом, мы получим три фазы, показанные на рисунке 2.

Можно также начать с меньшего количества ячеек и установить другие правила. Несомненно, дойти до определенной фазы и наблюдать за результатом (существуют простые компьютерные программы, которые могут быстро показать нам фазу 1000) — интереснейшее занятие. Мы увидим удивительные фигуры и ситуации: можно создать устойчивые конфигурации, вымершие виды, натюрморты, хищников или структуры, которые двигаются в решетке, не теряя своей формы.

Это вариант игры «Жизнь», созданной британским математиком Джоном Хортоном Конвеем в 1970 году. Помимо того что это просто очень интересная игра, имеющая важное применение в математике, она может быть полезным инструментом в исследованиях и помогает понять некоторые сложные природные процессы, так как является мощной моделью, которую можно применить, например, при изучении влияния разлива нефти на морскую фауну.

ОТ МЕЧТЫ ЛЕЙБНИЦА К МЕЧТЕ ФОН НЕЙМАНА

Развитие человеческой мысли скрыто от нас, оно следует законам, которые пока не удалось выявить. Однако в истории науки были великие мыслители, считавшие, что если можно было бы обозначить идеи номерами и присвоить каждой свое число, то достаточно было бы произвести вычисления с этими числами, чтобы узнать, какие из них верные, а какие ложные. Собственно, это и было мечтой Готфрида Лейбница (1646-1716).

Немецкий поэт Фридрих Гёльдерлин (1770-1843) однажды сказал: «Когда человек мечтает, он король, когда размышляет — нищий». Несомненно, Лейбниц очень походил на короля...

Тем не менее для таких научных деятелей, как Паскаль, Лейбниц или Декарт, склонных в своих размышлениях если не к прагматизму, то, по крайней мере, к некоей конкретике, размышлять означало воплощать свои идеи на практике. И в этот момент мечта могла обернуться кошмаром. Следовательно, нас не должно удивлять, что результаты их первых выводов воплощались в вычислительных машинах, ведь вычисление — одна из первых абстрактных операций, выполняемых человеческим разумом. К тому же время показало, что действие самых продвинутых «думающих» машин, которые мы способны сделать, основано на вычислениях по строго определенным правилам компьютерной алгебры. Эта сложная и очень специализированная область математики, появившаяся вместе с информатикой, начала зарождаться еще в сознании философов и математиков.

Истина

слишком сложна, нам дано лишь немного приблизиться к ней.

Джон фон Нейман

Вычислительная машина, спроектированная Лейбницем, была сложнее машины Паскаля, так как могла не только складывать и вычитать, но и умножать, делить и извлекать квадратные корни. Между началом ее создания и днем, когда Лейбниц увидел ее в собранном виде, прошло почти 23 года. Ученый дал ей говорящее название — Getrocknetsrechenmaschine (ступенчатая вычислительная машина). Действительно, она производила умножение путем последовательного сложения, но ее механизмы были слишком сложны технически для того времени, и она никогда не работала нормально. Несмотря на свою неудачу, Лейбниц посвятил себя размышлению над революционной идеей: если числа можно было бы представить на основании 2, это не только упростило бы механизмы машины, но и позволило бы применить к процессу вычисления бинарную логику.

ИГРА «ЖИЗНЬ

Два специалиста по клеточным автоматам могли бы вести диалог такого рода.

— Я уже несколько недель работаю над «Жизнью 4555»».

— Очень интересно. А я — над «Жизнью 5766»». Ищу модель того, как распространяются пожары в лесах.

Чтобы этот разговор был понятен, надо знать значения этих четырех цифр. Первая обозначает минимальное количество клеток, которое должно окружать живую клетку для того, чтобы она не умерла. Вторая — то же самое, но наоборот: это максимальное число. Третья — это минимальное число живых клеток в окружении для того, чтобы у клетки была возможность вновь ожить. Четвертая и последняя — максимальное число соседних клеток для того, чтобы ожить. То, что сегодня называется игрой «Жизнь»», является математической теорией, простой и очень любопытной. Ее возможное применение может быть теоретическим или практическим, например при изучении репродукции раковых клеток, зараженных деревьев в лесу, распространения пожаров или роста кристаллов.

Интерактивное табло, на котором идет игра «Жизнь». Музей искусства Сан-Хосе, Калифорния.

По Лейбницу, мир делится на два разных уровня. Физический уровень погружен в пространство и время, события в нем развиваются по своим законам (у всего есть следствие и причина), и его явления объясняются с помощью механики. Второй уровень — метафизический, в нем нет ни времени, ни пространства, ни причин, ни следствий, только числа. Сущность этого уровня Лейбниц ясно описал в следующем отрывке:

«Рассуждая с метафизической точки зрения, мы не более правы, когда говорим, что корабль движет воду и создает воронки, чем когда утверждаем, что вода сама создает их и вследствие этого корабль движется в соответствии с ними».

Исходя из этого Лейбниц пытался найти универсальный язык, который включал бы все термины метафизического мира и способы их взаимодействия, чтобы породить новые истины и иметь возможность контролировать этот механизм взаимодействия. Благодаря работе над такой задачей Лейбниц стал считаться отцом символической логики. Он предложил присвоить простые числа простым терминам и их произведения — всем остальным. Для воплощения этой идеи на практике Лейбниц создал алгебру всего с двумя связками — отрицанием и соединением, — заложив основы бинарной логики.

Воплотилась ли мечта Лейбница в жизнь? Некоторые ее аспекты — да, а некоторые, возможно, не воплотятся никогда. Британский математик Ада Лавлейс (1815-1852) — первый программист в истории — возможно, знала об амбициозном замысле Лейбница, так как однажды, говоря о компьютерах, заметила:

«Аналитическая машина не имеет претензий на создание чего- либо. Она может выполнить все что угодно — при условии, что знает верный способ. Она может провести анализ, но не в состоянии вскрыть аналитические связи или открыть истины. Ее потенциал заключается в том, чтобы помочь нам сделать возможным то, о чем у нас уже есть первоначальные знания».