Кентерберийские головоломки

Дьюдени Генри Эрнест

С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило

26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999

пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания.

46. Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат 776x776. После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73x73) человек в каждом. Другими словами, 113x(73) ²– 1=(776) ². Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

47. Читатель знает, что

целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1 111 111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239x4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239 (см. введение).

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10 n –1)/9.

Люка в свой книге «Занимательная арифметика» приводит несколько удивительных таблиц, которые он позаимствовал из арифметического трактата под названием «Талкис», принадлежащего арабскому математику й астроному Ибн Албанна, жившему в первой половине XIII века. В Парижской национальной библиотеке имеется несколько манускриптов, посвященных «Талкис», и комментарий Алкаласади, который умер в 1486 г. Среди таблиц, приведенных Люка, есть одна, где перечислены все делители чисел указанного вида вплоть до п =18. Кажется почти невероятным, что арабы того времени могли найти делители при п= 17, приведенные во введении к настоящей книге. Но Люка утверждает, что они имеются в «Талкис», хотя выдающийся математик читает их по-другому, и мне кажется, что их открыл сам Люка. Это, разумеется, можно было бы проверить, обратившись непосредственно к «Талкис», но во время войны сделать это оказалось невозможно.

Трудности возникают исключительно в тех случаях, когда п– простое число. При п =2 мы получаем простое число 11. Для п= 3, 5, 11 и 13 делители соответственно равны (3x37), (41x271), (21649x513 239) и (53x79x265371653). В этой книге я привел уже делители для п =7 и 17. Делители в случаях п= 19, 23 и 37 неизвестны, если они вообще имеются. [32] При п =29 делителями будут (3191x16 763x43 037x62 003x77 843x 839 397); при п= 31 одним из делителей будет 2791; при п =41 два делителя имеют вид (83x1231).

32

О. Хопп сообщил мне, что его исследования случая п= 19 позволяют утверждать, что соответствующее число – простое. Он представил свое доказательство в Лондонское математическое общество, и специально назначенная комиссия признала доказательство верным и окончательным (Proceedings of Lond. Math. Soc от 14 февраля 1918 г.).

Что же касается четных и, то следующая любопытная последовательность сомножителей, несомненно, заинтересует читателя. Числа в скобках – простые.

п= 2 = (11)

п= 6 = (11) x 111 x 91

п= 10 = (11) x 11 111 x (9091)

п=14 = (11) x 1 11l 111 x (909091)

п=18 = (11) x 111 111 111 x 90 909 091

Или мы можем записать делитель иначе:

п= 2 = (11) п =6 = 111 x 1001

п= 10 = 11 111x 100001

п= 14 = 1 111 111 x 10 000 001

п=18 = 111 111 111 x 1 000 000 001

В

приведенных выше двух таблицах пимеет вид 4 m+ z. Когда пимеет вид 4 m, делители можно записать следующим образом:

п= 4 = (11) x (101)

п= 8 = (11) x (101) x10001

п= 12 = (11) x (101) x 100 010 001

п= 16 = (11) x (101) x 1 000 100 010 001 [33]

При п= 2 мы получаем простое число 11; при п =3 делителями будут 3 x 37; при п= 6 они имеют вид 11 x 3 x 37 x 7 x 13; при п =9 получается 3 ²x 37 x 333 667. Следовательно, мы знаем, что делителями при п =18 будут 11 x 3 ²x 37 x7 x 13 x 333 667, тогда как остающийся множитель – составной и может быть представлен в виде 19 x 52 579. Это показывает, как можно упростить работу в случае составного п.

33

Во избежание недоразумений следует отметить, что автор во всех приведенных здесь таблицах допускает небрежность в обозначениях. Так, запись п = 4 =(11)x(101) означает, что при п= 4 число вида (10 п– 1)/9 разлагается на множители (11)x(101). – Прим. перев.

48. Наименьшее число шагов равно 118. Я приведу решение полностью. Белые кружки двигаются по часовой стрелке, а черные – в противоположном направлении. Ниже приведены номера кружков, которые следует перемещать в указанном порядке. Сдвигаете ли вы просто кружок на соседнее место или перепрыгиваете через другой кружок, станет ясно из расположения кружков, ибо иной альтернативы не будет. Ходы, указанные в скобках, следует совершать пять раз подряд: 6, 7, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 9, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 8, 9, 10, 11 (6, 5, 4, 3, 2, 1), 6, 5, 4, 3, 2, 12 (7, 8, 9, 10, И, 12), 7, 8, 9, 10, 11, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 12, 7, 8, 9, 10, 11, 6, 5, 4, 3, 2, 8, 9, 10, 11, 4, 3, 2, 10, 11, 2. Таким образом, при заданных условиях мы сделали 118 ходов; черные лягушки поменялись с белыми местами, причем номера 1 и 12 также поменялись местами.

В общем случае потребуется 3 n ²+ 2n– 2 ходов, где правно числу лягушек каждого цвета. Закон, управляющий последовательностью ходов, легко обнаружить, рассматривая наиболее простые случаи, где п= 2, 3 и 4.

Если вместо кружков с номерами 1 и 12 должны поменяться местами кружки с номерами 6 и 7, то потребуется п ^г– 4 п+ 2 ходов. Если мы придадим пзначение 6, как в нашем случае, то получится 62 хода.

Как удалось бежать королевскому шуту

Хотя королевский шут и пообещал «потом все объяснить», записей, где бы говорилось, как он это сделал, не сохранилось. Поэтому я предложу читателю мою собственную точку зрения относительно вероятного решения предложенных загадок.

49. Шут «разделил веревку пополам» – это вовсе не означает, что он разрезал ее на две равные части. Без сомнения, он просто расплел жгуты, из которых она была свита, и разъединил их, так что у него получились две веревки, равные по длине исходной, но вдвое тоньше ее. Связав их, он получил веревку, которая оказалась почти вдвое длиннее исходной и позволила ему спуститься вниз из окна темницы.