Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Белл Эрик Темпл

Из отдельных деталей эпистемологической теории судьба 137, возможно, наиболее интересна. Эта тонкоструктурная константа была предметом многих экспериментальных определений (как прямых, так косвенных) прежде, чем Эддингтон взялся получить ее из эпистемологических рассуждений. Он получил результат 137 в качестве числового значения этой константы, но знаменательно разнящийся с результатами, полученными экспериментально. Несоответствие между теорией и наблюдением было слишком малым, чтобы счесть это более чем случайным совпадением. Кто-то из компетентных экспериментаторов повторил свою работу с дотошной тщательностью, кто-то изобрел и применил новые методы проверки 137. Пока теория не предсказала, что константа должна быть целым числом, и заявила 137 как целое число, никто и не подозревал, что константа могла быть целым числом. Пифагор подсказал бы экспериментаторам, что их результаты ограничатся целым числом, когда они научатся точным измерениям. Так и случилось. К 1942 году было общепризнано, что число 137 верно.

Выстоит ли эпистемологическая теория

в той или иной форме, останется ли она неизменной, или претерпит изменения, или сдаст окончательно свои позиции, число 137 всегда будет делать ей честь. Теория освобождается от своих научных обязательств, когда она провоцирует новую экспериментальную работу большой научной ценности по любому признанному стандарту. То, что предсказание было выверено, могло оказаться лишь удачным совпадением. Но раз уж тому суждено случиться, это не умаляет положительное достижение. И не в первый раз в истории науки, когда ошибка одного человека стоила больше, чем правота другого.

Когда новый пифагореизм впервые появился в 1920 году, он игнорировался всеми (кроме нескольких физиков) как безобидная мистика, не представляющая никакого значения для науки. К 1937 году пифагореизм собрал уже столько последователей среди тех, кто уже был отмечен за свои успешные научные достижения, что их нельзя было уже игнорировать. Пришло время достоверно убедиться, какова она, эта «эпистемология», предназначенная для традиций Галилея и Ньютона. Представители и старого и нового согласились на дебаты, чтобы научная публика узнала, за что выступает каждая сторона, и получила возможность сформировать собственное мнение. Все участники были признанными учеными и имели право ссылаться на свой авторитет. В качестве прощальной дани уважения к Учителю мы предлагаем несколько из наиболее интересных мнений.

Дебаты открыл астроном-теоретик Эдуард Артур Милн, автор знаменитого «Космологического принципа», который он предложил в качестве замены теории относительности Эйнштейна. Согласно Милну, «получить законы динамики можно рационально… не прибегая к опытам». Как мы помним, эти законы составляют основу физики, согласно Галилею и Ньютону, которые вывели их индуктивным методом из опытов.

Выдающийся астрофизик и философ физики Герберт Дингл возглавлял противоположную сторону. «Для аристотелианцев [ошибка, для платоновых пифагорейцев] человеческий ум имел сверхчувствительное знание принципов, которым повиновалась природа, или, как альтернативный вариант, разум был способен отдельно от органов чувств диктовать течение опыта; для Галилея природа была независима, и ум мог лишь наблюдать и пробовать описать в общих выражениях процессы, в ней происходящие, кроме того, разуму было дано стремиться коррелировать результаты чувственного отражения в логическую систему». В отличие от них новый пифагореизм возвеличивает «космолатрию – культ, в котором «Вселенная» – это божество [которое] выше наблюдения и не может быть получено только из наблюдения; она господствует там, где бессилен опыт. Эта космолатрия, как стоило ожидать, выведена метафизикой из математики… Таким образом, мы встречаем среди широкой публики смутную веру, что физика есть учение о Вселенной, а в научном мире массовые публикации бесхребетной риторики, нелогичность которой затенена дымовой завесой математических символов».

Язык участников дебатов должен был неизбежно стать даже еще проще. Время от времени снисходительная ремарка, какую и сам Пифагор мог бы вставить, возвращала спор на безличный уровень, общепринятый в современных научных дискуссиях. Следует процитировать одну такую реплику Поля Адриена Дирака, одного из создателей новейшей квантовой теории, как образчик того, что эпистемологически достижимо. Число 10³⁹ – это единица с 39 нулями. «Мы можем принять за общий принцип, – утверждал Дирак, – что все большие числа порядка 10³⁹, такие как 2 x 10³⁹, 3 x 10³⁹…, обращаясь к общей физической теории, не говоря уж о простых числовых коэффициентах, равны t, t x t…, где t есть современная эпоха, выраженная в атомных единицах. Простые числовые коэффициенты, встречающиеся здесь, должны быть детерминированы теоретически, когда мы имеем всестороннюю теорию космологии и атомарности. Таким образом, мы избегаем потребности в теории для детерминирования чисел порядка 10³⁹».

Возможно, именно этот таинственный намек на появление новой теории, способной заменить и физику и нумерологию, вызвал самые острые возражения за все время и без того оживленных дебатов. Не давая заманить себя в туманное будущее приманкой несуществующей, но «всесторонней теории космологии и атомарности», Дингл напомнил участникам основную тему дискуссии. «Но сейчас мы пытаемся ответить на вопрос, – напомнил он своим оппонентам, – что должно стать основой научных знаний: наблюдение или изобретение. Ньютон не страдал недостатком воображения, но он предпочел изучать гальку, а не следовать за гадаринскими свиньями, даже если океан пред ним и был истиной. Милн же, как и Дирак, напротив, с головой погружается в океан «принципов» собственного творения и либо совсем игнорирует гальку, или относится к ней как к помехе. Вместо того чтобы выводить принципы из явлений, нам преподносят псевдонауку бесхребетной косМИФологии и приглашают совершить самоубийство, чтобы избежать необходимости смерти. О, что за гордые умы сражены, надежда и цвет державы, которая еще недавно была

так радостна, но в которой сейчас столько гнили, что самый совет по выборам [в Королевское Лондонское научное общество] должен был бы разорвать свою хартию и думать, что он делает это ради пользы науки».

На случай, если аллюзии в этом несколько агрессивном обвинении пифагорейцев ускользнули от понимания, вернемся к ним. Океан и галька, к которым отсылает слушателей Дингл, – это все из ньютоновского рассуждения в конце жизни, когда он оценивал себя: «Я не знаю, какое впечатление я произвожу; но самому себе я кажусь похожим на маленького мальчика, играющего на берегу. Я изредка забавляюсь тем, что нахожу особенно гладкую гальку или особенно красивую ракушку, тогда как великий океан непознанной истины простирается передо мной». Гадаринские свиньи, согласно святому Марку, «неистово бежали вниз по крутому склону в море и утонули там», после того как «все бесы», которых Иисус предварительно изгнал из бесновавшегося, получили от него разрешение «переселиться в свиней». Но шекспировский клинок разит больнее. Эффект был бы сильнее, если бы Дингл включил еще одну строфу. Физик-эпистемолог – это сумасшедший Гамлет, который только что объяснил Офелии (предположительно, экспериментальной науке): «У нас не будет больше свадеб… К монашкам, в монастырь ступай!» На это смущенная и расстроенная Офелия отвечает: «О, что за гордый ум сражен! <…> Цвет и надежда радостной державы…» Или это Милн и/или Эддингтон, который перестал быть «самым наблюдательным из всех наблюдателей» («the observed of all observers»), и есть Гамлет? «В которой сейчас столько гнили» конечно же попало в физику из «Гамлета» через «Датское королевство», родину Нильса Бора, одного из самых бесстрашных новаторов в теоретической физике XX века. Хотя не совсем понятно, кто есть кто и что есть что в обвинении Дингла, но любой ценитель должен восхититься этим небольшим шедевром высокохудожественного проклятия. И не только потому, что это «послание галатианцам» с «двадцатью девятью особыми проклятиями» спрессовало в столь малом объеме столько негодования. То, что человек науки может вкладывать столько души в чисто научный вопрос, является хорошим знамением для будущего науки. Физика не умрет от чрезмерной вежливости, пока ее почитатели волнуются о ней и выражают себя так же экспрессивно, как они обсуждают ошибки своих партнеров по бриджу.

Игнорируя «свиные» выпады в свой адрес, Милн опять спокойно отстаивал свою позицию. Рассказывая о своей теории, заменяющей теорию относительности, он утверждал, что «удивительно, но исключение дополнительных эмпирических обращений вполне выполнимо, как бы несовершенна ни оказывалась теория в своем нынешнем состоянии. Никто не был больше удивлен этому, [чем я сам]. Это – не априорная вера, над которой насмехаются; это полученный из опыта факт, с которым нужно считаться, что, когда мы таким образом устраняем подобные эмпирические обращения, выявляются закономерности (как логическое следствие [моей] гипотезы), которые выполняют роль тех самых законов природы, которые продолжают наблюдаться и соблюдаться. Эти закономерности имеют логический статус теорем, а итоговая логическая структура имеет статус (или получит таковой, если окажется безукоризненной) абстрактной геометрии, основанной на аксиомах».

Внимательный слушатель мог бы расслышать легкие приглушенные аплодисменты по крайней мере двоих экспертов в аудитории, которых никто официально не приглашал, но которые сами вызвались оценить полемику сторон. «Я всегда говорил им это», – прошептал Платон, одновременно с Кантом, произносившим ту же фразу. Из уважения к их общему ученику они прекратили шептаться, поскольку Милн продолжил анализировать проблему «происхождения законов природы».

«Эмпирическая физика, – заявил Милн, – не в силах взяться за эту проблему». Проблема появляется с «убеждения, что вселенная рациональна». Следовательно, это современное эхо мечты Пифагора. Милн объяснял свое понимание реального решения проблемы. «Под этим я под разумеваю, что, получив простую формулировку в ответ на вопрос «Что такое?», можно путем умозаключений легко вывести законы, удовлетворяющие условию. <…> Мы можем проверить это убеждение только путем отрицания, исследуя возможность выведения из некоторого принятого описания, каков характер законов, которым подчиняется «Что такое?», избегая, насколько возможно, всех обращений к опытным путем установленным законам. Законы природы были бы тогда не более случайны, чем геометрические теоремы. Создание Бога оказалось бы подчинено законам, которые не находятся в распоряжении Бога. Законы стали бы отражением мирового порядка». Несомненно, мы уже частично слышали это от последователей Аристотеля, логиков Средневековья.

Как и ожидалось, гадаринцы Дингла отказались «тонуть в море» без сопротивления. Конечно, некоторые из них отважно боролись и благополучно достигли суши. После любезного признания «занимательного выступления Дингла» Эддингтон «немного убавил риторику», перед тем как попытался совсем отказаться от нее. Эддингтон – физик, и в его ответе речь идет о Галилее и его взглядах, но никак не о галилеянах, жителях Галилеи, как в тех первоисточниках, из которых Дингл почерп нул свое нелестное сравнение. «Моя точка зрения, – объяснил Эддингтон, – представляет определенный контраст представлениям Галилея; и я чувствую большое удовлетворение оттого, что потряс несгибаемых последователей [Дингла] школы Галилея <…> После довольно обширного ряда исследований я обнаружил, что большая часть современной физики выводима априорным доказательством и потому не составляет знание реально существующей вселенной».