Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Шрифт:
Кант мог бы чему-нибудь научиться у «Аналитика» Беркли, если бы он не унял чувства, подозрительно напоминающие профессиональную ревность к своему сопернику-идеалисту. Возможно, он ничему не научился бы и у Гаусса, поскольку «принца математиков» никогда сильно не интересовало научить кого-то чему-то. Гаусс ненавидел любые формы наставлений, его шедевры были вполне законченными, но трудно читаемыми. Сравнительно мало людей разбирались в них, а еще меньше постигали всю глубину написанного. В своих опубликованных произведениях Гаусс всегда был взыскательно справедлив или холодно уважителен по отношению к предшественникам или современникам. Но в своих письмах к верным друзьям он бывал по-крестьянски резок. Не слишком грубый пример 1844 года рассказывает нам, что Гаусс действительно думал о математиках-любителях, когда те берутся разъяснить математику, что показывает его точку зрения на одну из кардинальных идей метафизики Канта: «Вы видите все то же самое [математическая
Что называется, профессиональное знание против мнения любителя. Но и знание, и мнение могут меняться.
Не все идеи Канта о природе математики противостояли прогрессу, каким его понимали в начале XX века. Мы упоминали в предыдущих главах многообразие школ интуиционистов в философии математики, начало которым положил Брауер около 1912 года и которые медленно развивались под влиянием Вейля и др. В связи с математической бесконечностью было отмечено, что Брауер вслед за Кронекером, жившим в 1823–1891 годах, отказался признавать, что предположение либо истинно, либо ложно до тех пор, пока не найдется какой-нибудь способ подтвердить либо то, либо другое. Интуиционисты отрицают закон Аристотеля об исключенном третьем, где подобные средства отсутствуют. Между прочим, это отрицание оставляет за бортом многое из давно признанного «доказательства существования» классической математики, как чистой, так и прикладной. Это, однако, не является предметом сиюминутного интереса. Именно философия интуиционистов приводит нас обратно к Канту и «интуиции» в математике, на которой он настаивал. Сначала Брауер вообразил, что его философия вытекает из философии Канта, но позднее решительно отверг любую связь и заимствование и отрекся от Канта и почти всей его математической метафизики. Поскольку только создатель современного интуиционизма, как никто другой, может сказать, что вдохновило его, несерьезно оспаривать вопрос.
Математика для интуиционистов сродни (интуитивно?) «точной части нашего мышления» и является предшествующей как для логики, так и для философии. Источником математики декларировано «интуитивное предположение, которое представляет существующие математические концепции и подразумевает, что они для нас сразу ясны». Имеет место отрицание факта, что интуиция в любых отношениях мистична, для них она просто «способность рассматривать раздельно конкретные концепции и умозаключения, появляющиеся регулярно в общественном сознании». Интересно слегка дополнить данное отрицание и утверждение тем, что словарь определяет как понятие «мистицизм»: «Доктрина или вера в то, что прямое знание Бога, духовных истин и высшей реальности и так далее доступно через посреднические институты, предвидение или просветление, способом, отличным от обычного чувственного восприятия и логического рассуждения». «Объекты», с которыми имеют дело математики-интуиционисты, содержатся непосредственно в мысли. Напоминает «априорно синтетическую» геометрию Канта, но, в отличие от нее, эти объекты интуиционистов не зависят от опыта и не существуют вне мысли.
Античные и средневековые догмы заново появились также и в интуиционистских утверждениях о способности человека представить последовательность «четких, отдельных объектов», полученных путем неограниченного присоединения объектов к тем, что уже представлены. Начиная с «единицы» и концептуальной процедуры по «добавлению единицы», интуиционист таким образом постигает интуитивно бесконечную последовательность натуральных чисел 1, 2, 3… бесконечным повторением процедуры. Эта способность интуитивно постигать бесконечную последовательность чисел, как мы видим, далеко не универсальна как среди примитивных, так и среди цивилизованных людей, если, конечно, эта «способность» по умолчанию, согласно гипотезе, латентна, хотя и ненаблюдаема. Бескомпромиссный финитист (такой, как Кронекер) начнет утверждать, что бесконечность интуиционистов имеет только не имеющее смысла устное существование или на бумаге, а не интуитивное существование в уме человечества. Финитист отрицает бесконечность как обман, унаследованный от вышедших из моды философий и осмеянных теологий, поскольку может существовать и без них.
Пребывая в благоговейном страхе перед Кантом, Брауер придерживался мировоззрения Канта в отношении пространства и времени. Позднее (1912) он избавится от априорного пространства, но более преданно воспримет априорное время. Год 1912-й вспомнили, чтобы подчеркнуть тот факт, что математический интуиционизм старше на четырнадцать лет, чем современная квантовая теория физики. Эта теория и последующее развитие атомной физики побудили физиков-теоретиков как минимум очистить свои интуитивные
Хотя ядра атомов слишком малые частицы, чтобы оказаться поводом для встречи с несколькими величайшими в истории философами-математиками, по меньшей мере трое из них объединились на этой почве. В процессе приспособления к современному научному окружению Пифагору, Аристотелю и Канту пришлось отказаться от некоторых своих самых бережно оберегаемых убеждений. Пифагор отбросил универсальное «число», Аристотель – «тождество», а Кант – свое «время». На макроскопическом (большого масштаба) уровне нет проблем с идентификацией и счетом обозреваемых объектов. Например, каждый камень в куче может быть идентифицирован и отличается от соседнего, а все вместе камни легко пронумеровать: один, два, три… пока куча не будет пересчитана. Это иллюстрирует одну из четырех вообразимых возможностей в плане идентификации и счета. А что три оставшиеся? Физики нашли примеры для двух. Приведем только выводы: квант света нельзя идентифицировать и посчитать, электроны нельзя идентифицировать и посчитать. Таким образом, как минимум в физике древнее понятие «число» лишилось своего универсального значения. Что касается «пространства» и «времени», то они тоже потеряли свою традиционную универсальность, когда перешли к жизни атомных ядер, если вообще не утратили значения, став второразрядными и искусственными «конструкциями», применяемыми из экономии языка для математического описания наблюдаемых явлений. Еще один-два шага в указанном направлении, и, может быть, обнаружится, что эти мнимые «неизбежности» мысли оказываются даже не «применимостями», а вышедшими из моды препятствиями, мешающими пониманию явления.
Чтобы завершить перечень главных изменений, происходящих с базовыми рассуждениями в попытке объяснить природу математики, приведем вердикт по традиционной философии, вынесенный современным логиком и математиком. В 1933 году Рудольф Карнап, позднее присоединившийся к знаменитому Венскому кружку, в своей работе оценил ситуацию следующим образом: «Большинство философов уделяют ей скудное внимание [новой логике, созданной математиками с 1854 года и, особенно, примерно с 1890 года]. Подозрительная сдержанность, с которой они подходят к этой новой логике, немного удивляет.
Математические одеяния, в которые она рядится, действительно пугают, но она побуждает и более глубокую враждебность, которую мы начинаем ясно различать. Недоверие порождено опасностью, которая угрожает позициям старой философии. И действительно, каждая философия, в старом смысле слова, относится ли это к Платону, святому Фоме Аквинскому, Канту, Шеллингу, Гегелю, или к появившимся новым «метафизикам сущего», или к «диалектической философии», подвергается неумолимой критике со стороны новой логики как доктрины, не ложной по содержанию, но логически несостоятельной, а потому лишенной смысла».
Достаточно красноречиво. Поскольку мы завершили рассуждения о великих философах математики Кантом, мы вынуждены воздержаться от удовольствия открыть для себя гениальные мысли Гегеля по вопросам естествознания и математики. Чтобы компенсировать это упущение, опять же процитируем Карнапа: «Поскольку все законы логики тавтологичны и пусты [без фактического наполнения], они ничего не могут нам сказать о реально существующем мире. Любая диалектическая метафизика (и больше всего у Гегеля) по этой причине нелегитимна».
Естественно, не все философы едины во мнении по данному смертному приговору. Но только единицы из числа философов и прочих бросят вызов пророчеству (1925) философа из Оксфорда Жоада (С.E.M. Joad): «Если господин [Бертран] Рассел прав, большая часть философии лишена всякого смысла, если он не прав, мы можем продолжать надеяться выявить истину о вселенной методами, которые философия традиционно использует. Но прав он или нет, ясно, что человечество будет продолжать философствовать, хотя бы из-за одного только облагораживающего и расширяющего познание влияния философских размышлений на интеллект и глубоко запрятанный инстинкт любознательности, к которому они взывают». Не согласны были только те научные деятели, историки культуры и обозреватели человеческой природы, которых волновал вопрос «облагораживающего и расширяющего познание влияния философских размышлений на интеллект». Но в данной работе, как это часто случалось во время путешествия из прошлого в настоящее, несогласие может корениться во мнении, а вовсе не в знании.