Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Белл Эрик Темпл

Еще более достоверный эквивалент пятому постулату Евклида, чем предшествующий, был замечен Саккери. Это одно из трех взаимоисключающих предположений, исчерпывающих возможности для параллельных линий. Вместо эквивалента Саккери, увидеть суть вопроса можно в еще более упрощенном и более достоверном эквиваленте постулата Евклида, а следовательно, и Саккери.

Точка р и прямая линия l, не проходящая через точку р, задают одну плоскость в пространстве. Представим пучок всех (прямых) линий, лежащих на данной плоскости и проходящих через точку р. Существует три варианта: только одна линия из всего пучка не пересечет l, более чем одна линия из пучка пересечет l, ни одна линия не пересечет l.

Первый из этих трех вариантов

эквивалентен пятому постулату Евклида. Он также эквивалентен предположению, которое Саккери обязался вывести из другого предположения Евклида. Ему пришлось убедить себя, что второй и третий варианты (и даже их относительные эквиваленты) приводят к противоречию. По очереди из каждого он выводил цепочку рассуждений. Пока он верил своим дедуктивным рассуждениям и придерживался желания поверить в зависимость, он не мог достичь желанного противоречия в неевклидовых эквивалентах. Его строгая логика ничего не выводила, кроме непротиворечивости. Этого не могло быть.

Либо обдуманно, либо по объяснимому недосмотру разочарованный фанат Евклида опроверг одну из своих новых геометрий, добавив дополнительный постулат, пренебрегая его формулировкой: ложно, что прямая линия, достаточно длинная, возвращается в себя саму и становится конечной величиной. Второй вариант он отрицал успешнее, ложным использованием бесконечно малых величин. Игнорируя правила игры, в которую он подвязался играть честно, он сдался, хотя должен был выиграть. Приз был уже у него в руках, когда он отступил. Но поскольку он, безусловно, подсознательно настраивался на победу во имя Евклида еще до начала игры, возможно, он не смог изменить себе. Одна из двух неевклидовых геометрий, которую он выпустил из рук, видимо, сильно искушала его. Он отверг ее с явным сожалением. Ту самую, которую человек по фамилии Лобачевский откроет через девяносто семь лет.

В безмятежной уверенности, что именно он установил неизбежность и вечную истинность геометрии Евклида на все времена, Саккери назвал свой труд «Евклид, очищенный ото всех пятен». Практически со времен Евклида гениальные геометры старались вывести пятый постулат Евклида из его собственных предположений, и все потерпели фиаско. Теперь известно, что поражение было неизбежно: пятый постулат не связан с остальными, как непроизвольно показал Саккери и намеренно – Лобачевский в процессе создания неевклидовых геометрий. Но Саккери умер счастливым в собственном неверии в настоящее величие своего труда.

Если интеллектуальная жизнь Саккери была трагедией, то, по крайней мере, не жалкой. По утверждению отдельных антиклерикальных авторов, жалкая участь постигла шедевры Саккери. Труд этот не потеряли, не предали забвению более чем на полтора века. Его конфисковали и спрятали. Это неприятная инсинуация. И цель дискуссии о нем состоит только в том, чтобы повысить историческую значимость для всех «истин» – от математики до теологии – появления неевклидовой геометрии в XVIII и XIX веках.

Мы видели, что во времена Ренессанса геометрия Евклида вошла в состав вечных ценностей. Кто бы мог оказаться настолько нетерпеливым, чтобы поставить под сомнение абсолютную необходимость этой конкретной геометрии, того неминуемо причислили бы к числу еретиков или, менее почетно, к сумасшедшим. Некоторые абсолюты, потребность в демонстрации которых была необходима для оздоровления разумно здравомыслящих голов, должны были существовать. Евклидова геометрия была избрана всеми скептиками, кто подозревал, что остальные работы чистого разума, в частности официальная теология, должны быть разрушены геометрией. Ни один человек в здравом уме не осмелился бы оспорить истинность геометрии. Таким образом, воцарилась одна абсолютная истина. Но если есть одна, то почему не две? Но если вдруг какой-то еретик опрокинул бы абсолютизм евклидовой геометрии, как поступил Коперник с астрономией Птолемея, ни один абсолют не устоял

бы.

К 1920 году, когда теория относительности начала охватывать научный мир как очистительный и разрушительный пожар, хранители средневековых традиций заявили, что если евклидова геометрия больше не абсолют и не единственная в мире, тогда Священное Писание в опасности и ворота широко распахнулись для атеизма. Геометрия теории относительности вообще ничем не напоминала евклидову. Она была известна математике уже почти шестьдесят лет, когда Эйнштейн нашел для нее практическое применение. Но непоколебимые поборники Средневековья никогда не слышали даже упоминания о ней. Не слышали они и о неевклидовой геометрии Саккери, к тому времени отмечавшей уже свое двухсотлетие, хотя и опубликованной всего за тридцать лет до этого. Шторм утих, или его рокот утонул в грохоте утихающего урагана, налетевшего на абсолюты классической логики – далекое, но прямое следствие отмены абсолютизма в геометрии.

Факты, касающиеся труда Саккери, ясны. По рекомендации регионального правителя иезуитов, «Евклид» после просмотра жюри теологов был отправлен в сенат, кардиналу и главному инквизитору. Инквизитор подтвердил, что книга не содержит ничего враждебного официальной вере. Разрешение на публикацию было дано 16 августа 1733 года. Саккери умер 25 октября того же года. Любой книготорговец объяснит разницу между набором и изданием книги. И хотя «Евклид» был набран в 1733 году, публикацию отложили до 1889 года – года, когда последователи Бруно воздвигли ему монумент. С 1733 по 1889 год книга оставалась под сукном. Но в 1889 году один ее экземпляр случайно попался на глаза отцу Анжело Манганотти из ордена иезуитов, который немедленно определил ее историческое значение. Он предложил работу Саккери вниманию известного светского геометра Евгенио Белтрами. Великолепно разрекламированная книга Саккери «Евклид» сберегла автору все права и привилегии на математическое бессмертие через сто пятьдесят шесть лет после его смерти.

Правда, к 1889 году неевклидовых геометрий, включая пару принадлежащих перу Саккери, было полно. Они представали перед математиками последние шестьдесят лет, и при наличии определенной подготовки и небольшого воображения любой мог легко создать еще несколько вариантов, отличных от тех, что уже существовали. Если бы Саккери волновала слава в 1889 году, то он уже не сумел бы потребовать научного приоритета своей работы 1733 года, поскольку принятые правила в науке гласили, что отсчет идет от даты публикации. Возможно, это несправедливо, но исключает бесполезные споры.

Другой великий геометр, Уильям Кингдон Клиффорд, живший в Англии в 1845–1879 годах, назвал Лобачевского Коперником геометрии. Если бы Клиффорд знал, что неевклидова геометрия Лобачевского 1826–1829 годов появилась на свет в более ранней работе неизвестного профессора-иезуита, имя которого следовало бы указывать в каждом учебнике истории математики (но его нет ни в одной), он назвал бы Саккери Коперником геометрии. Действительно, титул этот в некотором отношении больше принадлежит итальянцу, чем русскому. Коперник получил первый отпечатанный экземпляр книги, которая опрокинула систему астрономии Птолемея на смертном одре, таким образом избежав общественного неудовольствия. Саккери почти повторил этот подвиг. Но книга Коперника была набрана и издана, а книга Саккери только набрана.

Как и в период подавления свободомыслия, например в начале 1930-х годов в Германии, в случае с Саккери в похожие времена, как полагают некоторые критики, исчезновение его набранной книги не было случайным инцидентом. Если применима какая-либо мораль в этой, скажем, гипотетической истории, то может оказаться, что имевшее место подавление не просто тщетно, а глупо. Факты, как присвоение или растрата, всплывают наружу, и, кто бы ни пытался скрыть их, рано или поздно они проявятся как грубая некомпетентность.