Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Белл Эрик Темпл

Чтобы почтить память того имеющего решающее значение прорыва от старого мира к новому, почитатели Бруно в 1889 году установили ему памятник на месте его сожжения, сломав сопротивление жесткой оппозиции. Нужен очень толерантный ум, чтобы забыть чьи-то ошибки.

После Бруно пришел Галилей. Провал усилий Бруно по переориентированию своих гонителей на астрономию Коперника был вполне компенсирован совершенным переубеждением Галилея, воспринявшим в полном объеме великую ересь работ Бруно.

Жизнеописание Галилея так хорошо всем известно, что стоит напомнить здесь лишь отдельные его детали. Сохраняя серьезное отношение к серьезным вещам, Галилей все-таки не был, в отличие от Бруно, фанатиком в отношении того, что считал праведным. Его склонность к сарказму и сатире превратила его в более опасного оппонента, чем любого другого невероятно рьяного кандидата на мученичество. Логик, пересекшийся с Галилеем, обыкновенно долго жалел

о состоявшейся встрече. Галилей скорее презирал, чем ненавидел аристотелианцев, а его колкое презрение поражало куда глубже, чем откровенное бичевание Бруно. У него было также ни с чем не сравнимое для его времени преимущество воцерковленного верующего. И хотя никогда не поднимался вопрос об искренности его опротестования веры, не может быть сомнений, что ортодоксальность Галилея в этом плане сослужила ему службу не меньшую, чем любая другая покровительственная окраска, которую природа или его собственный острый ум смогли бы придумать. Бруно наклик'aл гонения, Галилей ловко уклонялся от них. Но в конце концов фанатики, которых он высмеивал, настигли его.

Категорическое предупреждение в 1616 году призвало Галилея умерить свой пыл в отношении новой астрономии. Он более-менее подчинился. Но он не был человеком, способным выставить себя на посмешище, ради престижа кого-то другого. В своем великом диалоге (1632) о двух системах астрономии Птолемея и Коперника он, безусловно, обеспечил победу последней. Но духовные последователи Аристотеля издали декрет, что именно первая является истинной астрономией. Бесчисленные цитаты из Священного Писания противостояли Копернику, а следовательно, и Галилею.

Длительная игра в кошки-мышки, где в роли мышки выступал человек науки, подошла к концу. Галилея притащили в святую инквизицию. Там последовало судебное разбирательство, до сих пор остающееся классическим примером нудности и глупости. Астроном-еретик был приговорен 22 июня 1633 года к отречению от теории Коперника и своих собственных учений, как противоречащих Священному Писанию.

Официальный документ, приговоривший обвиняемого к торжественному отречению, пожизненному заключению и чтению семи покаянных псалмов раз в неделю, был подписан семью из десяти кардиналов, вершивших суд. Галилей отрекся. Ему шел семидесятый год, здоровье было подорвано, и он был унижен перед дураками. Ему хватило здравого смысла не дать возможности поучаствовать в очередном празднике Рима, наподобие того, что устроил Бруно.

Математикам следовало бы поинтересоваться и прочитать оригинальный документ (слишком длинный, чтобы воспроизводить его в данной работе), поскольку в нем в последний раз в истории они и их методы выделены для особо жесткой официальной цензуры. С тех пор историческое неодобрение математиков стало восприниматься слишком незначительным, чтобы становиться объектом проявления официального высокомерия.

Вклад Галилея в восхождение современной науки иногда преуменьшают историки естествознания, но никогда этого не делают действующие ученые, которые знают что-то об истории науки. Справедливо, что другие говорили о сочетании математики с наблюдением и опытом. Галилей никогда не был первым из тех, кто настаивал, что принципы естественных наук должны приобретаться через опыт, подтверждаться, где это возможно, математически и должны формировать базис дедуктивной системы, выводы которой могут быть проверены эмпирически. Но он произнес это более четко и более ясно по сравнению с другими. Что еще более важно, он был первым, кто сопроводил красноречие действием в масштабе, показавшим всем, кроме сознательно зашоренных, что метод, защитником которого он являлся и который он применял на практике, принес победу там, где остальные потерпели поражение. Среди современников Галилея и соперников его по славе очень часто называется Декарт, живший в 1596–1640 годах, зачастую именуемый первым современным философом. Он был одним из нескольких ученых, сказавших о научном методе так же много, как и Галилей. Но гений философа был сильно склонен к математике и абстракции, и, вместо плохо законспирированной зависти к Галилею, Декарт не обращал на него внимания как на ученого. Уже было показано, что Декарт оставался платоновским реалистом в математике, а Галилей возносил математику не менее энергично, чем это делал Платон. Но там, где Декарт был доволен своим математическим реализмом, Галилей не мог оставаться в полном восхищении. Он продолжал работать.

Наш интерес к Галилею в данной работе вызван его вкладом в теорию математической бесконечности. Из его саркастического замечания в одном из диалогов невозможно определить, серьезно ли воспринимал сам Галилей свой эпохальный комментарий или просто произнес его злонамеренно, чтобы привести в замешательство глупого последователя Аристотеля посредством его же собственной логики. Каким бы ни был мотив его поступка, Галилей устранил основное различие между конечным и бесконечным множествами.

Под

словом «вклад» следует понимать часть, а не все. В конечном множестве присутствует всегда больше элементов, чем в любой его части. Галилей на примере показал, что часть бесконечного множества содержит то же количество элементов, что и все бесконечное множество. Два множества содержат «одинаковое число» элементов, когда, взяв поочередно из каждого множества по одному элементу, мы образуем из них пары таким образом, чтобы после спаривания ни в одном из множеств не осталось свободных элементов. Это просто объяснение того, что имеется в виду, когда мы подразумеваем, что два множества содержат равное количество элементов.

Примеры множеств, в которых часть содержит столько же элементов, сколько и само множество, легко представить. Все четные числа 2, 4, 6, 8, 10… являются только частью всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… количество четных чисел среди четных чисел равно количеству четных чисел среди всех натуральных чисел. Составление пар осуществляется сопоставлением каждому натуральному числу его удвоенного числа:

1, 2, 3, 4, 5…

2, 4, 6, 8, 10…

В примере Галилея:

1 2 3 4 5…

1², 2², 3², 4², 5²…,

в котором каждому натуральному числу в пару ставится его квадрат, что более наглядно.

Это гениальное наблюдение стало первым шагом к допущению, что последовательная математика может себе позволить говорить о «бесконечности». Создалось впечатление, что математики это умышленно просматривали до начала XIX века, когда другие заметили кажущийся парадокс «целого» и «части» со ссылкой на множества, которые не конечны, а приняты как факт, и тут начали серьезно работать над математической бесконечностью. К концу века появилась глубоко проработанная теория бесконечности, как оказалось, на базе чистой и прикладной математики, включая арифметику бесконечных чисел. Как было замечено в предыдущей главе, коварный парадокс, вкравшийся в эту работу, потребовал более высокой тщательности дедуктивного рассуждения, чем когда-либо со времен Аристотеля. В свою очередь, это бросило тень подозрения на статус математики и логики как инструмента открытия вечной истины и божественной необходимости. Если бы десять кардиналов, участвовавших в деле, знали, что думал Галилей о бесконечности, они бы ни секунды не потратили на его ереси по Копернику. Его провокационный пример на базе всех натуральных чисел и их квадратов был призван разрушить логику, на основании которой средневековые власти основывали официальную теологию, в значительно большей степени, чем все неортодоксальные отступления новой астрономии. Очень трудно себе представить, как бы Галилей отрекся от этого примера.

Риторическое восхваление математики как божественно внушенного ответа на все загадки мироздания вышло из моды среди активного ученого сообщества вместе с Галилеем. Еще продолжали звучать устарелые гимны в не-уменьшающемся количестве, что правда, но не о тех, кто создавал новую математику и применял ее в физике и астрономии. Какой бы математический мистицизм ни поощряли вожди, он уже был вне науки. До конца 1920-х годов несколько ученых подхватили песнь в честь «божественной математики» на ноте, на которой Галилей оборвал ее, прогресс был стремителен. В 1930 году платоническая божественность вернулась из забытья трех веков, как и Великий Математик. Одновременно мироздание стало математической мыслью как сложная геометрическая теорема в том же Математическом уме.

Упадок рапсодической математики среди практикующих ученых, кажется, произошел случайно, благодаря глубоко здравому смыслу Ньютона. Рожденный в 1642 году, когда умер Галилей, Ньютон жил в первой четверти XVIII века и умер в 1727 году. Его «Математические принципы натуральной философии», изданные в 1687 году, стали научной библией великих континентальных астрономов-математиков и математиков-естествоиспытателей. Только в математически ненужном придатке ко второму изданию «Принципов» присутствует подозрение на что-то, что может именоваться математическим мистицизмом. Раскритикованный Лейбницем (1646–1716) и епископом Беркли (с которым мы еще встретимся в другом месте) за игнорирование теологической метафизики в первом издании «Принципов» (1687), Ньютон добавил «Генеральную схолию» по этим вопросам для второго издания 1713 года. Если ортодоксальные почитатели Ньютона ожидали угодливой поддержки своих верований признанным математиком и ученым современности, они должны были в определенной степени расстроиться оценкой Ньютоном высшего существующего. Он полностью отрекся от антропоморфизма. А то что осталось, стало ничем, а благочестивые современники Ньютона так надеялись на его воображение.