Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Белл Эрик Темпл

Попытка доказательства самого первого предположения «На данной конечной прямой линии можно создать равносторонний треугольник» не подлежит даже исправлению. Его портит жуткая ошибка, которую любой наблюдательный школьник, пошевелив мозгами, моментально определит. Невозможно исправить попытку Евклида, используя только допущения, которые он сам себе позволял. Доказательство второго предположения зависит от доказательства первого, поэтому оно также ложно. Его третье упирается во второе. И так далее, вплоть до седьмого, полностью лишенного смысла. Если бы это кого-нибудь тревожило, то внутреннюю логическую структуру в части геометрии в «Элементах» следовало бы проанализировать от начала до конца в целях выявления неопределенных допущений и несовершенных доказательств. Однако тринадцать книг «Элементов» Евклида в течение почти двух тысяч лет оставались объектом слепого поклонения как олицетворение логического

совершенства. И хотя наши попытки разобраться в правильности умозаключений может постичь та же участь, что и Евклида, его пример научил отдельных математиков быть внимательными в своих претензиях на вечные истины в части собственного вклада. Интересная догадка в отношении побудительного мотива Евклида на создание своего труда снова возвращает нас к пифагорейцам и Платону. Первое предположение имело целью создать простой правильный многоугольник (равносторонний треугольник). Заключительные шесть предположений книги XIII, венец проделанной работы, дают геометрическое построение пяти тел геометрически правильной формы. Таким образом, геометрическую часть «Элементов» следует рассматривать как математические границы пифагорейского космоса, придуманного Платоном. Тайная цель Евклида состояла в том, чтобы защититься этими границами от враждебных рациональных сомнений.

В эволюции геометрической истины существуют четыре критические даты: 1701, 1733, 1781 и 1826 годы. Связанные с ними имена соответственно: Джордж Беркли (1685–1753), Джироламо Саккери (1667–1733), Иммануил Кант (1724–1804) и Николай Лобачевский (1793–1856). Беркли был ирландским метафизиком, теологом и, наконец, епископом. Саккери – итальянским логиком-иезуитом и математиком. Кант – немецкий философ шотландского происхождения, не был математиком. Лобачевский – русский математик, никогда не был философом. За исключением Канта, каждый из этих людей внес значительный вклад в деплатонизацию математики в целом и геометрии в частности.

Беркли, кажется, оказался первым метафизиком в памяти истории (с сомнительным исключением некоторых средневековых номиналистов), который заподозрил, что нет ничего абсолютного в «истинах» геометрии.

Саккери, вопреки своему открытому стремлению и неискоренимой вере, оказался первым, кто продемонстрировал, что система геометрии Евклида – не единственная из приемлемых.

Кант просто допустил замысловатую ошибку. С позиций своих рассуждений, к которым мы вернемся в должном месте, он рассмотрел истинность элементарной геометрии (евклидовой) как априори аподиктической и синтетической. Иначе говоря, он поверил, что геометрические теоремы, такие как «сумма углов плоского треугольника равна двум прямым углам», являются неизменимыми истинами, свойственными реальности, какой она передается мысли самой структурой мозга, то есть человеческий мозг может воспринимать геометрические истины только через формы евклидовой геометрии. Эта геометрия, таким образом, навязана человечеству самой природой и мозгом. Только так, а не иначе.

Лобачевский, прекрасно понимая, чем он занимается и что его работа подразумевает для геометрической «истины», представил вполне законченную систему геометрии, самодостаточную и отличную от евклидовой, как и евклидова, пригодную для повседневного использования. Сознательно и преднамеренно Лобачевский сделал то, что Саккери, убеждая самого себя, считал невозможным, но что, несмотря на его стойкую лояльность к Евклиду, Саккери частично выполнил.

Кант и Лобачевский противоречат друг другу во всем. Хоть и предпринимались попытки показать, что Канта неправильно поняли и что его метафизика согласовывается с неевклидовыми геометриями, компетентные математики и математики-логики сошлись на том, что Кант ошибся. «Нет ничего, – утверждал Кант, – губительнее для философии, чем математика». Конечно, не было ничего губительнее для философии самого Канта, чем попытка доказать невообразимость геометрии отличной от евклидовой, поскольку геометрия Евклида была для него верной. Частично по аналогии с этой предполагаемой надежностью евклидовой геометрии, частично на основании других рассуждений Кант вывел свою теорию «вещей в себе» – переодетых абсолютов.

Невольный шедевр Саккери, содержащий первые примеры неевклидовой геометрии, был издан в 1733 году, «Критика чистого разума» Канта с его ложной концепцией геометрии появилась в 1781 году. Отдельные фанаты системы Канта могли бы попытаться представить себе, что бы сказал Кант об абсолютной геометрии и абсолютах вообще, если бы ему выпал шанс прочитать труд Саккери. Еще увидим, почему философ отверг этот шанс. Все не столь академично, как может показаться. Такой, ничуть не меньший авторитет, как Томас Манн, утверждал в 1941 году, что на самом деле цивилизация если и воюет за что-то во Второй мировой войне, так это за Абсолют.

Глава 24

Епископ-скептик

Располагая

в хронологическом порядке Беркли, Саккери и Лобачевского, будем считать Беркли первым. Жизнь Беркли (1685–1753) охватывает первый великий период ньютоновской математики и натуральной философии. Его интеллектуальное восхождение там, где оно шло параллельно развитию математики, предлагает интересный пример последовательного продвижения оригинального и независимого ума от ортодоксальности к ереси. Но в своем главном интересе, в христианской теологии, Беркли никогда не испытывал колебаний. Если в его сознании и был доминирующий мотив, то речь может идти только о его желании придать Богу рациональное начало с помощью того, что математики именуют доказательством существования. Чем бы ни занимался Беркли в математике, он оставался крестоносцем, словно сам Бог наложил на него это обязательство. Иногда в своих попытках сделать божественное существование приемлемым для рационально мыслящего ума он оказывался на удивление расчетливо рациональным, словно современный математик, сочиняющий монографию о постулатах геометрии или логике бесконечности. Чаще же он оставался настолько далеким от реальности в своих рассуждениях, насколько бескорыстен был в жизни.

Без всякой видимой причины вообще подруга Джонатана Свифта Ванесса оставила ему половину своего состояния. Как-то на обеде она сидела за столом рядом с ним. Деньги, конечно, должны были быть направлены на благотворительность, хотя Ванесса завещала их без всяких условий. Часть денег Беркли истратил, пытаясь облегчить вопиющую бедность и коррупцию его родной Ирландии.

Кульминация жизни Беркли доказывает, что он был настоящим идеалистом. Ему было чуть за сорок, когда он, недавно женившись, бросил комфортную жизнь декана Дерри и отплыл с женой в Америку. Перспектив у него практически не было, кроме невнятного обещания английского правительства на выплату зарплаты, которое могло бы когда-нибудь материализоваться. Ему было поручено «основать колледж на Бермудах для целей христианизации Америки». Он так никогда и не доплыл до Бермуд. По какой-то небрежности штурмана миссионер христианской цивилизации был доставлен в Ньюпорт на Род-Айленде, где он был обречен на три мирных года деревенской жизни и изучение обычаев индейцев. Когда же все надежды на иллюзорную зарплату растаяли, Беркли возвратился в Англию.

В возрасте сорока пяти лет он становится епископом Клойна в своей родной Ирландии. В том же 1734 году он опубликовал свою отважную математическую ересь «Аналитик». Полное наименование в достаточной степени определяет ее цели: «Аналитик, или Рассуждения, адресованные неверующему математику, где исследуется, действительно ли объект, принципы и выводы современного аналитика (уравнения Ньютона) более очевидно постигают или более очевидно приходят к умозаключению, чем религиозные мистерии и символы веры».

Декада, последовавшая за «Аналитиком», выдвинула на первый план «Альбицию», любопытную компиляцию, которую Беркли, похоже, считал своим шедевром. Он признавался, что это произведение стоило ему больше умственных затрат, чем все его работы, вместе взятые. «Альбиция» по сути была выстраданной реакцией Беркли на учения Платона и части неоплатонической философии, которые он давно идеализировал. Главная тема, однако, оставалась его, Беркли, собственной до мелочей. Он представил, что в «смолистом элементе» надсмольной воды он открыл целебный эликсир от всех болезней человечества, от душевных расстройств до оспы.

Уже из одних этих примеров его непрерывной активности становится ясно, что гений Беркли беспорядочно бросало то туда, то сюда, но он продолжал оставаться оригинальным. Только несколько аспектов из всего его разнообразного творчества интересны нам в рамках нашей темы.

Характерные противоречия Беркли проявили себя очень рано. Его наипервейшей любовью была математика. Она же стала последней, хотя в его поздние годы он обманывал себя в уверенности, что «все осталось» позади, где-то в юности. В возрасте шестнадцати лет он написал делавшее ему честь эссе по Евклиду, которое опубликовал тремя годами позже. Монотонное шаг за шагом следование дедуктивному рассуж дению Евклида, переход от одного очевидно неизбежного к другому гипнотизировали юношу. Подобно Платону и «всем святым и мудрым» от Пифагора до Августина, юный Беркли придерживался взгляда на геометрию как на вечную истину. Не ведая своих подсознательных метаний, ошеломленный геометр вбил себе в голову еретическую мысль о предоставлении математического доказательства существования Бога. Если бы он преуспел в этом, что осознал, когда излечился от своей грандиозной мечты, он бы доказал подчиненное положение Бога перед математикой, которая с того момента получила бы неопровержимое доказательство, что есть высшее существующее.