Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

Новые средства решения дифференциальных уравнений представляют собой ряд окон, созданных средствами пакета расширения Maplets. Каждое окно содержит поля для представления уравнений или параметров, там где это надо поля для представления графиков и кнопки управления. Довольно подробное описание процесса интерактивного решения дифференциальных уравнений дано в разделе ODE Analyzer справки. Доступ к нему представлен на рис. 7.35.

Рис. 7.35.

Окно справки по разделу ODE Analyzer

7.10.2. Примеры интерактивного решения дифференциальных уравнений

Для интерактивного решения дифференциальных уравнений используется функция dsolve в следующей записи:

dsolve[interactive](odesys, options)

Здесь указание [interactive] задает вывод первого окна с записью дифференциальных уравнений, представленных параметром odesys и необходимыми опциями options. Примеры применения функции dsolve уже неоднократно приводились.

На рис. 7.35 в центре видно окно с записью дифференциальных уравнений, начальных условий для его решения и значениями параметров. Предусмотрено редактирование как самой системы, так и начальных условий и параметров. Для этого достаточно активизировать кнопку Edit в соответствующей части окна. Примеры редактирования можно найти в справке, они просты и наглядны, а потому детали описания редактирования опускаются.

Внизу окна имеется две кнопки:

Solve Numerically — решение численное;

Solve Symbolically — решение символьное (аналитическое).

На рис. 7.36 представлен пример численного решения. Для этого случая возможно задание одного из пяти методов решения, задания (если нужно) граничных условий и построение графика решения.

Рис. 7.36. Пример решения системы ОДУ численным методом

Другой случай решения — аналитически представлен на рис. 7.37. Решение появляется в подокне при нажатии клавиши Solve. В данном случае оно поместилось в подокне, но если решение слишком громоздко, то активизировав кнопку Large Display можно вывести решение в отдельное большое окно.

Рис. 7.37. Пример решения системы ОДУ символьным методом

Для изменения параметров графиков служит отдельное окно. С его работой и другими деталями интерактивного решения можно познакомиться по справке.

7.11. Анализ линейных функциональных систем

Завершим главу описанием пакета LinearFunctionalSystems. Он содержит специальные средства для решения дифференциальных уравнений, описывающих линейные функциональные системы.

7.11.1. Назначение пакета LinearFunctionalSystems

Пакет LinearFunctionalSystems содержит набор функций для решения задач, связанных с анализом линейных функциональных систем. Обычно такие системы описываются линейными

дифференциальными уравнениями, имеющими то или иное решение. Пакет LinearFunctionalSystems позволяет провести тестирование подготовленной системы, оценить ряд ее параметров и получить решение одним из ряда методов.

Вызов всех функций пакета осуществляется командой:

> with(LinearFunctionalSystems);

[AreSameSolution, CanonicalSystem, ExtendSeries, HomogeneousSystem, IsSolution, MatrixTriangularization, PolynomialSolution, Properties, Rational Solution, SeriesSolution, UniversalDenominator]

7.11.2. Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems

Прежде чем рассматривать основные функции пакета, рассмотрим две тестовые функции. Они представлены следующими формами записи:

IsSolution(sol, sys, vars)

IsSolution(sol, A, b, x, case)

IsSolution(sol, A, x, case)

AreSameSolution(sol, sol1)

В них: sol — тестируемое решение, sys — система функциональных уравнений, x — независимая переменная решения, А и b — матрица и вектор с рациональными элементами, case — имя метода решения ('differential', 'difference' или 'qdifference')

7.11.3. Функции решения линейных функциональных систем

Группа основных функций пакета LinearFunctionalSystems имеет идентичный синтаксис и записывается в виде:

name(sys,vars,[method])

или

name(A[,b],x,case,[method])

Здесь name — одно из следующих имен:

• PolynomialSolution — решение в форме полинома;

• RationalSolution — решение в форме рационального выражения;

• SeriesSolution — решение в виде ряда;

• UniversalDenominator — решение с универсальным знаменателем (и числителем, равным 1).

Система функциональных уравнений задается либо в виде полной системы sys со списком переменных vars, либо в матричном виде с заданием матрицы коэффициентов системы А и вектора свободных членов b (может отсутствовать) с указанием независимой переменной x и параметра case, имеющего значения 'differential', 'difference' или 'qdifference'. Параметр method, задающий метод EG-исклю-чения может иметь значения 'quasimodular' или 'ordinary'.

7.11.4. Вспомогательные функции

Несколько вспомогательных функций пакета LinearFunctionalSystems представлено ниже:

• MatrixTriangularization(mat, m, n, х, It) — триангуляция матрицы mat размера m×n с указанием типа It ('lead' или 'trail');

• CanonicalSystem(shift, sys, vars) или CanonicalSystem(shift, A[, b], x, case) — возвращает систему в каноническом виде (параметр shift задается как 'difference' или 'q-difference', назначение других параметров соответствует указанным выше для других функций);

• ExtendSeries(sol, deg) — расширяет ряд решения sol до расширенного ряда степени deg;