Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
Шрифт:
8.9.2. Визуализация решения систем неравенств
Пожалуй, еще более полезным и наглядным средством является визуализация решения системы уравнений в виде неравенств. В пакете plots имеется специальная графическая функция inequal, которая строит все граничные линии неравенств и позволяет раскрасить разделенные ими области различными цветами:
Параметры этой функции следующие: ineqs — одно или несколько неравенств или равенств или список неравенств или равенств; xspec — xvar=min_x..max_x; yspec — yvar=min_y..max_y; о — необязательные параметры, например, указывающие
Рис. 8.59. Пример графической интерпретации решения системы неравенств
Обратите внимание на задание цветов: optionsfeasible задает цвет внутренней области, для которой удовлетворяются все неравенства (равенства), optionsopen и optionsclosed задают цвета открытых и закрытых границ областей графика, optionsexcluded используется для цвета внешних областей. График дает весьма наглядную интерпретацию действия ряда неравенств (или равенств).
8.9.3. Иллюстрация итерационного решения уравнения f(x)=х
Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х = f(x) и применение метода простых итераций хk = s(хk-1) при заданном значении x0. Приведем пример такого решения:
Нетрудно заметить, что значения х_k в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve:
Результат выглядит необычно — помимо довольно очевидного корня х=0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение:
К нему и стремятся промежуточные результаты
Рис. 8.60. Иллюстрация процесса итераций
На рис. 8.60 представлено задание процедуры rec_plot( f1, а, b, х0).
Параметрами этой процедуры являются: f1 — функция f(x): а и b — пределы изменения х при построении графика; х0 — значение х, с которого начинаются итерации. Используя эту процедуру можно наблюдать график, иллюстрирующий итерационный процесс. Он представлен на рис. 8.60 снизу.
Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций, хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у=х и кривой y=f(x). Вы можете, меняя зависимость f(x), провести исследования сходимости уравнений x=f(x).
8.9.4. Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области
Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на комплексной плоскости. На рис. 8.61 задана функция f(z) комплексного аргумента. Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций в соответствии с выражением z=f(z) позволяет графическая функция complexplot3d из пакета plots.
Рис. 8.61. Наблюдение за процессом ньютоновских итераций в трехмерном пространстве
Наблюдаемая картина весьма необычна и свидетельствует о далеко не простом ходе итерационного процесса. А рискованной эта задача названа потому, что в предшествующих версиях Maple она нередко вела к «зависанию» компьютера.
8.10. Визуализация геометрических построений
8.10.1. Визуализация теоремы Пифагора
Средства Maple 9.5 весьма удобны для визуализации геометрических построений.
Примером наглядного геометрического представления математических понятий является визуализация известной теоремы Пифагора (рис. 8.62).
В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.
Рис. 8.62. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора