Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

> [arcsinh(1.),arccosh(1.), arctanh(1.)];

[.8813735870, 0., Float(∞) + Float(undefined)I]

Графики обратных гиперболических синуса, косинуса и тангенса представлены на рис. 3.4 снизу. С помощью функции преобразования convert(f, ln) можно перевести гиперболические функции в логарифмическую форму:

> сonvert(arcsin(х), ln);

> convert(arctan(х), ln);

3.2.12.

Вычисление степенных и логарифмических функций

К степенным и логарифмическим относятся следующие функции системы Maple: ехр — экспоненциальная функция; ilog10 — целочисленный логарифм по основанию 10 (возвращает целую часть от логарифма по основанию 10); ilog — целочисленный логарифм (библиотечная функция, возвращающая целую часть от натурального логарифма); ln — натуральный логарифм; log — логарифм по заданному основанию (библиотечная функция); log10 — логарифм по основанию 10; sqrt — квадратный корень.

Примеры вычисления этих функций (файл calcfim):

> х:=2;

х:=2

> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];

> х:=2.0;

х:= 2.0

> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];

[7.389056099,.6931471806,.6931471806,.3010299957]

> ilog[2](100);

6

> readlib(log10);

proc(x) ... end proc

> log10(10000.);

4.000000000

> evalc(sqrt(2+3*I));

> sqrt(99+1);

13

Графики ряда описанных выше функций показаны на рис. 3.5. Они также получены с применением средств Maple 9.5.

Рис. 3.5. Графики ряда степенных и логарифмических функций

На рис. 3.5 показаны также графики синусоиды с экспоненциально падающей и нарастающей амплитудой. Строго говоря, называть представленные функции синусоидами математически не корректно.

Многие функции этой группы обычно определены для положительных значений аргумента. Однако введение комплексных чисел позволяет вычислять такие функции и для отрицательных значений аргумента. Несколько интересных примеров этого представлено ниже (файл calcfun):

> restart:sqrt(-4);

2I

> simplify( sqrt(х^2));

csgn(x)x

> ln( -1 );

πI

> simplify(log(exp(x)));

ln(e^x)

> assume(x,positive);simplify(log(exp(x)));

x~

Обратите

внимание на то, что в предпоследнем примере Maple отказалась вычислить «очевидное» значение выражения, но сделала это после придания х статуса предполагаемой переменной с только положительными значения.

3.2.13. Применение элементарных функция для моделирования сигналов

Системы компьютерной математики часто используются для моделирования сигналов и устройств их обработки и преобразования (см. пример в разделе 3.2.5). Рисунок 3.6 показывает построение нескольких функций, полученных с помощью комбинаций элементарных функций, включая тригонометрические функции. Такие комбинации позволяют получать периодические функции, моделирующие сигналы стандартного вида: в виде напряжения на выходе двухполупериодного выпрямителя, симметричных прямоугольных колебаний (меандр), пилообразных и треугольных импульсов, треугольных импульсов со скругленной вершиной.

Рис. 3.6. Примеры моделирования сигналов с помощью комбинаций элементарных функций

В этом рисунке запись axes=NONE убирает координатные оси. Обратите внимание, что смещение графиков отдельных функций вниз с целью устранения их наложения достигнуто просто прибавлением к значению каждой функции некоторой константы.

Приведенные выше сигналы нередко можно формировать, используя функции с условиями — например, функцию signum. Однако достоинство моделирования сигналов с помощью только элементарных функций заключается в том, что такие сигналы нередко могут обрабатываться аналитически, тогда как для функций с условиями это возможно далеко не всегда.

3.2.14. Выбор экспоненциальных функций для приближения сложных зависимостей

В природе многие зависимости имеют экспоненциальное нарастание или спад. Это характерно для апериодических и релаксационных процессов, например, таких как спад радиоактивности. Да и многие колебательные процессы имеют экспоненциальное нарастание или спад амплитуды колебаний. Кроме того, такие зависимости характерны для ряда характеристик самых разнообразных устройств и систем. Это делает целесообразным рассмотрение и визуализацию наиболее важных из экспоненциальных функций.

На рис. 3.7 показано начало документа на котором заданы три экспоненциальные функции и построены семейства их графиков. Представление графиков в виде семейства, а не поодиночке, позволяет наглядно представить характер изменения вида функций, что зачастую уже достаточно для выбора той или иной функции в качестве приближения (аппроксимации) некоторой сложной зависимости. После выбора зависимости используя методы регрессионного анализа можно подобрать параметры выбранной функции по методу наименьших квадратов.

Рис. 3.7. Начало документа с тремя экспоненциальными зависимостями

Первая из представленных функций описывает зависимости, характерные для идеального диода или р-n-перехода. Две другие зависимости имеют характерные падающие участки, которые присуши, например, вольт-амперным характеристикам «лямбда»-диодов и транзисторов (первые характеризуются одной кривой, другие семейством кривых). Последняя зависимость задана функцией пользователя с тремя параметрами x, а и b.