Математические чудеса и тайны

Гарднер Мартин

Затем числовые значения карт складываются:

3 + 6 + 10 + 10 = 29

Остаток колоды передается зрителю, и его просят отсчитать 29 карт. Последняя из них открывается. Листок с предсказанной заранее картой переворачивается, и написанное читается вслух. Конечно, там будет название только что открытой карты!

Объяснение. После того как колода будет перетасована, показывающий должен незаметно посмотреть, какая карта лежит внизу колоды. Именно эту карту он и предсказывает. Все остальное выходит само собой. После того как восемь из двенадцати карт будут собраны и положены под колоду, замеченная карта окажется по порядку сороковой. Если все операции, о которых говорилось выше, были выполнены правильно, мы неизменно будем приходить к этой карте [3] ). То обстоятельство, что колода вначале тасуется, делает этот фокус особенно

эффектным.

3

Истинная цель действий показывающего сводится к отсчету с помощью зрителя сорока карт, причем так, чтобы зритель не догадался об этом. Если x₁, х₂, х₃, x₄ — числовые значения взятых карт, то откладывается соответственно 10 — x₁, 10 — x₂, 10- x₃, 10 — x₄ — карт; всего отложено 40 — x₁ — х₂ — x₃ — х₄ карт, следовательно, до 40 не хватает как раз х₁ + x₂ + x₃ + x₄ карт.

Интересно заметить, что в описанном фокусе, как и в других, основанных на том же принципе, показывающий может разрешить зрителю приписывать любые числовые значения валетам, дамам и королям.

Например, зритель может пожелать считать каждый валет тройкой, даму — семеркой, а короля — четверкой. Это никак не скажется на показе фокуса и может придать ему больше «таинственности».

Фокус, собственно, требует только одного: чтобы в колоде были 52 карты; какие это будут карты, не играет ни малейшей роли. Если все они будут двойками, фокус тоже получится. Это означает, что зритель может приписать любой карте новое значение, какое ему вздумается, причем это не повлияет на успех фокуса.

Фокус с задуманной картой

Несколько лет назад было предложено удивительное усовершенствование этого фокуса. Перетасовав колоду, показывающий выкладывает кучку в девять карт лицевой стороной вниз. Зритель выбирает одну из этих карт, запоминает ее и кладет на верх кучки.

Оставшаяся часть колоды кладется на кучку, и таким образом, замеченная карта оказывается девятой снизу.

Теперь показывающий берет катоду и начинает выкладывать карты по одной в кучку лицевой стороной кверху, считая при этом вслух в обратном порядке от 10 до 1. Если числовое значение положенной карты случайно совпадает с называемой цифрой (например, появилась четверка в то время, когда он произнес: «четыре»), то откладывание карт в эту кучку прекращается и начинается откладывание следующей кучки. Если же такого совпадения появляющейся карты и произносимого числа не произошло, то отсчитывание заканчивается на цифре 1 и кучка «бьется», т. е. накрывается следующей по порядку картой (лицевой стороной вниз), взятой сверху колоды.

Так выкладываются четыре кучки, после чего числовые значения «непобитых» (открытых) карт, лежащих сверху кучек, складываются. Отсчитав теперь из катоды это число карт, зритель обнаруживает под последней из них выбранную им карту. Этот вариант фокуса гораздо эффектнее прежнего, так как выбор карт, входящих в сумму, кажется совершенно случайным, а «принцип компенсации», на котором основан фокус, скрыт значительно глубже [4] )

Циклическое число

4

Девятая карта снизу является сорок четвертой сверху. Если совпадения не происходит, откладывается 11 карт.

Если совпадение происходит на карте с числовым значением n, то отсчитано, считая и ее, 11 — n карт; зритель затем отсчитывает n карт, что дает снова 11 карт. Четырехкратное повторение процедуры дает 44 карты, что и требуется.

Многие диковинки из области теории чисел можно с успехом демонстрировать как карточные фокусы.

В качестве примера приведем следующий фокус. Он основан на том, что если умножить «циклическое число» 142857 на любое целое чисто от 2 до 6, то поручится число, составленное из тех же цифр с круговой (циклической) их перестановкой.

Фокус состоит в следующем. Зрителю даются пять карт красной масти, имеющие чистовые значения 2, 3, 4, 5 и 6. Себе же показывающий берет шесть карт черной масти, размещая их так, чтобы их числовые значения соответствовали цифрам числа 142857. Как показывающий, так и зритель тасуют свои карты; при этом показывающий только делает вид, что тасует, а в самом деле сохраняет и порядок неизменным.

(Этого можно легко добиться, дважды перекладывая карты по одной с одной стороны колоды на другую.

Быстрое выполнение этой операции создает полное впечатление тасовки, хотя весь эффект состоит в том, что расположение карт дважды меняется на обратное, оставляя таким образом первоначальный порядок неизменным.)

Показывающий раскладывает на столе карты в ряд, лицевой стороной кверху, образуя число 142857.

Зритель вытягивает одну из своих карт и кладет ее лицевой стороной вверх под рядом, разложенным показывающим. С помощью карандаша и бумаги зритель перемножает наше число на числовое значение вытянутой им карты. Пока он занят этим делом, показывающий собирает свои карты, накладывает на первую слева карту соседнюю, затем на нее соседнюю и т. д., «снимает» их один раз и снова кладет на стол кучкой (лицевой стороной книзу) [5] ). После того как зритель выполнит умножение, показывающий берет свою кучку карт и снова раскладывает их слева направо лицевой стороной кверху. Шестизначное число, которое при этом получается, в точности совпадает с результатом умножения, найденным зрителем.

5

«Снять» колоду означает: разделив колоду на две части, поменять их местами. Если карты колоды записать последовательно на окружности (образовать «цикл»), то операция «снятия», не меняя порядка карт в цикле, изменяет только начало отсчета.

Объяснение. Карты черной масти показывающий собирает, не нарушая порядка, в котором они были разложены. Допустим, что зритель умножал наше число на 6: тогда произведение должно оканчиваться двойкой, так как шесть раз по семь (это последняя цифра множимого) будет сорок два. Если снять так, чтобы двойка оказалась внизу, то после того как карты будут разложены в ряд, она окажется последней картой и изображаемое картами число совпадет с ответом, полученным зрителем.

Циклическое число 142857 является обратным по отношению к простому числу 7 в том смысле, что оно получается от деления 1 на 7. Выполняя это деление, мы получаем бесконечную периодическую дробь с периодом, совпадающим с нашим циклическим числом.

Другие, большие, циклические числа также можно получить путем деления единицы на большие простые числа.

Отсутствующая карта

Пока показывающий стоит спиной к зрителям, кто-нибудь из них вынимает карту из колоды, кладет ее в карман и тасует колоду. Затем показывающий поворачивается, берет колоду и начинает выкладывать карты по одной лицевой стороной кверху. После того как выйдут все карты, он называет недостающую.

Объяснение. Числовое значение недостающей карты можно установить, подсчитав в уме сумму числовых значений карт, выложенных на стол. При этом валетам приписывают значение 11, дамам 12. Королей можно считать нулями и не учитывать вовсе.

Без королей сумма числовых значений всех карт в полной колоде равна 312. Поэтому, чтобы найти числовое значение отсутствующей карты, нужно из 312 отнять сумму числовых значений 51 карты. Если эта последняя сумма окажется равной 312, то недостающая карта — король.

При показе этого фокуса важно владеть методами быстрого счета. Так, например, очевидно, что, прибавляя 11, удобно сначала прибавить 10, а затем еще единицу, а для прибавления 12 вы сначала прибавляете 10, а затем двойку. Дальнейшею увеличения быстроты счета можно достичь путем «отбрасывания двадцаток», т. е. считая по модулю 20. Иначе говоря, как только сумма превзойдет 20, отбросьте это число и держите в памяти только остаток. После того как будет положена последняя карта, вам придется запомнить небольшое число от 0 до 12 включительно. Отнимите это число от 12, и вы получите числовое значение отсутствующей карты. Если последней суммой окажется 12, то недостающая карта — король. Нам кажется, что исключение «двадцаток» — лучший способ убыстрения счета. Однако многие предпочитают в этом случае отбрасывать 13. Тогда, например, складывая 7 и 8 и отбрасывая 1З, вы запоминаете 2. Вместо добавления 11 (в случае валета) и последующего отбрасывания 13 проще, ничего не добавляя, вычесть 2.

В случае дамы отбросьте 1. Ясно, что королей принимать во внимание не нужно. Закончив подсчет, отнимите последнюю цифру от 13 и вы получите числовое значение спрятанной карты. После того как оно найдено, можно, конечно, сдавая карты вторично, узнать масть отсутствующей карты. Однако при этом сразу раскрывается секрет фокуса. Как же определить масть карты при первой раскладке, одновременно с ее числовым значением?

Один из способов, — правда трудный, если вы не владеете техникой быстрого счета в уме, — это одновременное запоминание суммарного числа для масти и такого же числа для числового значения карты.