Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Ответы
Решения трех задач, возникающих при игре в гекс (см. рис. 36), показаны на рис. 39.
Рис. 39
Полный анализ всех ходов, возможных в этих задачах, оказывается слишком длинным, чтобы его здесь приводить: крестиками отмечены лишь первые правильные ходы «белых».
Глава 9. АМЕРИКАНСКИЙ ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ГОЛОВОЛОМОК СЭМ ЛОЙД
Имя Сэма Лойда вряд ли что-нибудь
В действительности было два Лойда — отец и сын. После смерти Лойда-старшего сын отбросил приставку «младший» и продолжил дело отца. Сидя в своей крохотной и темной конторе в Бруклине, Лойд-младший сочинял головоломки для отделов развлечений газет и журналов, издавал книги по занимательной математике, придумывал фокусы. Но сын (Лойд-младший скончался в 1934 году) не обладал отцовской изобретательностью, и его книги мало чем отличались от других наспех составленных компиляций из работ отца. Лойд-старший родился в 1841 году в Филадельфии у «состоятельных, но честных родителей» (собственное выражение Лойда).
В 1844 году его отец, агент по продаже недвижимого имущества, перевез семью в Нью-Йорк, где Сэм до 17 лет посещал общеобразовательную школу. Если бы молодой человек окончил колледж, то из него вполне мог бы выйти выдающийся математик или инженер.
Но Сэм не стал поступать в колледж. Причиной тому в значительной мере явились шахматы.
В течение десяти лет Лойд только и делал, что передвигал по доске шахматные фигуры. В то время шахматы были необыкновенно популярны; многие газеты вели шахматные отделы, где помещались задачи, придуманные читателями. Первая задача Лойда была опубликована одной нью-йоркской газетой, когда автору было всего 14 лет. На протяжении следующих пяти лет он настолько продуктивно сочинял шахматные головоломки, что стал весьма известен в шахматном мире. В 16 лет Лойд стал редактором отдела задач в Chess Monthly («Шахматный ежемесячник»), который тогда издавали Д. У. Фиск и молодой шахматный мастер П. Мерфи.
Позже Лойд редактировал шахматные отделы в одних газетах и под различными псевдонимами регулярно посылал придуманные им задачи в другие.
В 1877–1878 годах Лойд вел еженедельную шахматную страничку в приложении к журналу Scientific American. Каждая его статья начиналась с заглавной буквы, составленной из шахматных фигур задачи. Эти странички вошли в книгу Лойда «Шахматная стратегия», которую он собственноручно набрал и напечатал. Книга Лойда, содержащая 500 его избранных задач, и поныне пользуется огромным спросом. [16]
16
Лойд С. Математическая мозаика. — М.: Мир, 1980.
Чаще других перепечатывалась задача Лойда, которую он придумал в 18-летнем возрасте. Эта задача может служить прекрасной иллюстрацией к умению Лойда облекать самые сложные вопросы в форму анекдота.
В 1713 году шведский король Карл XII вместе со своим войском был окружен турками под Бендерами. Не обращая внимания на пули и ядра, король с одним из своих министров часто играл в шахматы. Однажды, когда у них возникла позиция, изображенная на рис. 40, Карл, игравший белыми, объявил противнику мат в три хода. В этот момент шальная пуля сбила с доски белого коня. Карл внимательно изучил новую позицию, улыбнулся и сказал, что коня ему и не нужно, поскольку и без коня он может поставить противнику мат в четыре хода. Едва он успел это сказать, как вторая пуля сбила с доски белую пешку h2.
Рис. 40
У этой истории есть продолжение. Через несколько лет после появления задачи Лойда один немецкий шахматист заметил, что если бы первая пуля сбила вместо коня белую ладью, то Карл все равно мог бы объявить мат в шесть ходов. Читатели, увлекающиеся шахматами, наверное, с удовольствием поразмыслят над этой замечательной «четырехсерийной» задачей.
Первая головоломка, принесшая коммерческий успех, была придумана Лойдом, когда ему еще не исполнилось и двадцати лет. Она изображена на рис. 41 точно в таком виде, как ее нарисовал Лойд.
Рис. 41
Разрезав картинку вдоль пунктирных линий и переставив ее части (не сгибая их при этом), мы увидим наездников, сидящих верхом на ослах. П. Т. Барнум приобрел у Лойда право издания нескольких таких картинок и выпустил их в продажу миллионными тиражами под названием «П. Т. Барнум и его волшебные ослики». Говорят, что за несколько недель эта головоломка принесла Лойду 10000 долларов. Не утратила она своей популярности и в наши дни.
С точки зрения математики самым интересным изобретением Лойда следует считать игру в пятнадцать. В конце сороковых годов нашего века интерес к игре в пятнадцать возобновился, коробочку с 15 квадратными шашками и сейчас еще можно встретить в магазинах игрушек. Общий вид этой головоломки показан на рис. 42.
Рис. 42
В коробочке могут свободно перемещаться 15 перенумерованных квадратных шашек. Два последних квадрата переставлены. Требуется, не вынимая из коробочки, передвинуть квадраты так, чтобы их номера расположились по порядку, а пустой квадрат оказался в правом нижнем углу. В семидесятых годах прошлого века игра в пятнадцать была в большой моде, ей посвящались даже научные статьи в математических журналах.
За правильное решение головоломки Лойд назначил премию в 1000 долларов. Десятки сотен людей клялись, что они решили задачу, но ни один так и не смог вспомнить ходы, чтобы записать их и получить за это премию. Назначая премию, Лойд ничем не рисковал, ибо предложенная им задача неразрешима. Из более чем 20 миллиардов всевозможных расположений квадратов ровно половину комбинаций можно получить, передвигая квадраты из начального расположения, показанного на рис. 42. Остальные расположения квадратов, в том числе и то, которое требуется найти, если воспользоваться терминологией теории перестановок, обладают другой «четностью», а перестановки, обладающие различной четностью, не переходят друг в друга при перемещении квадратов внутри коробочки.
Можно играть и по-другому: беспорядочно сложить квадратики в коробочку и, передвигая, пытаться расположить их по порядку номеров. Вероятность успеха, очевидно, равна 1/2. Существует простой способ, позволяющий узнать, можно ли получить данную перестановку В из любой другой перестановки А: для этого нужно лишь подсчитать число «транспозиций» (каждая транспозиция означает перестановку двух квадратов: их нужно вынуть из коробочки и поменять местами), которые необходимо совершить, чтобы превратить А в В. Если это число четно, то А и В имеют одинаковую четность и тогда, передвигая квадраты, А можно переводить в В и наоборот.