Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Мы в нашей повседневной жизни настолько привыкли к зеркальным отражениям, что уверены, будто прекрасно их понимаем.
Многих озадачит вопрос: «Почему зеркало меняет местами правое 8 левое, но не переворачивает верх и низ?» Вопрос еще более запутывается существованием очень простых в изготовлении зеркал, которые вовсе не переворачивают правое и левое.
[История, очень похожая на историю с зеркалом, неожиданно произошла в совсем другой области — в лунной картографии. В Давние времена Луну рисовали так: север помещали вверху, а юг соответственно внизу. Восточной называли левую часть карты, а западной — правую; это прямо противоположно тому, что принято называть востоком и западом на земных картах. Причина такой Путаницы кроется в том, что мы смотрим на Луну, стоя спиной к Полярной звезде, отсюда естественным было назвать востоком ту часть Луны, которая обращена к востоку. У Луны восток и запад Поменялись местами, как в зеркале.
Позже (и сейчас) в астрономических трубах исчезли переворачивающие линзы — астрономов не беспокоило, что простым глазом мы видим одно изображение, а в трубе — перевернутое. (На астрономических снимках серп, смотрящий вправо, соответствует растущей Луне, а серп, смотрящий влево, — убывающей. Земля и Луна вращаются вокруг своих осей в одну и ту же сторону.) В атласах стали помещать Луну так, что юг оказывался наверху, а восток справа. Так что теперь на картах верх и низ поменялись местами!
Дальше события развивались так. В 50-х годах астрономы забеспокоились. Им показалось, что космонавту, попавшему на Луну, будет непривычно видеть Солнце восходящим на западе и заходящим на востоке (хотя каждое такое событие происходит только раз в месяц). В 1961 году Международный астрономический союз переименовал восток Луны в запад, а запад Луны — в восток. Это все равно, что назвать правую руку при зеркальном изображении левой!
На всякий случай отметим, что в соответствии с современной терминологией Море дождей находится в северо-западной части Луны (до 1951 года оно было в северо-восточной!).]
И Платон в своих «Диалогах», и Лукреций в трактате «О природе вещей» описывают зеркало, сделанное из слегка изогнутого полированного металлического прямоугольника, которое изображено на рис. 87 в центре.
Рис. 87 Обычное зеркало и отражение в нем (слева) и два зеркала, дающие необращенные изображения (в центре и справа).
Взглянув в это зеркало, вы увидите себя таким, каким вас видят окружающие. Машинописный текст, отраженный в таком зеркале, читается обычным образом, без всяких трудностей.
Еще проще сделать зеркало, которое не меняет местами правое и левое, из двух зеркал без рамок, поставленных под прямым углом друг к другу, как показано на рис. 87. Что будет с вашим отражением, если это зеркало повернуть на 90°? Изображение перевернется вверх ногами (ранее описанное зеркало обладает этим же свойством).
Симметричной называется такая структура, которая не меняется при отражении в зеркале. Она может быть наложена точка в точку на своего зеркального двойника, а асимметричная — не может. Два вида асимметричных предметов обычно различают, называя их «правыми» и «левыми». Хотя оба вида различаются между собой, вам не удастся никакими опытами обнаружить ни у одного из них такого свойства, которого не было бы у другого. Это глубоко озадачило Канта. «Что может сильнее походить на мою руку, — писал он, — чем ее отражение в зеркале? И тем не менее я не могу совместить ту руку, которую я вижу в зеркале, со своей рукой».
Эта удивительная двойственность присуща структурам любого числа измерений, в том числе и того, которое больше трех. Например, отрезок прямой симметричен в одном направлении, но отрезок, составленный из длинного и короткого отрезков, асимметричен. Отражая его в зеркале, мы увидим, что длинный и короткий отрезки поменялись местами. Обращаясь к словам, как к символам, ориентированным в одном направлении, мы увидим, что в большинстве своем они симметричны, однако существуют слова-полиндромы типа «радар», «заказ», читающиеся одинаково в обоих направлениях.
Существуют даже полиндромные предложения: [28]
Draw pupil's lip upward! — Подтяни вверх губу ученика!
A man, a plan, a canal — Panama! — Человек, план, канал — Панама!
Egad! A base tone denotes a bad age. — Ей-богу! Низкий голос указывает на пожилой возраст.
«Мадам, Адам!» — первые слова Адама (вероятно, Ева ответила на них: «Угу!»).
Поэты нередко используют полиндромные звуковые эффекты.
Хороший тому пример — известные лирические стихи Роберта Браунинга «Ночная встреча». Каждая строка в них написана по схеме abccba, чтобы передать в стихах шум набегающих морских волн.
28
Примеры русских полиндромов читатель найдет в примечаниях к русскому изданию книги М. Гарднера «Этот правый, левый мир», (М.: Мир, 1967, стр. 45–46). В этой книге и о право-левой асимметрии рассказано более подробно.
Мелодии также можно рассматривать как звуки, упорядоченные во времени. В пятнадцатом веке было модно сочинять полиндромные каноны, [29] в которых побочная тема лишь повторяла с конца к началу главную тему. Многие композиторы (в том числе Гайдн, Бах, Бетховен, Хиндемит и Шёнберг) использовали отражение мелодий для создания контрапунктных эффектов, но, как правило, перевернутые мелодии режут слух.
С помощью магнитофона можно провести много забавных экспериментов по музыкальному отражению. Фортепьянная музыка, проигранная в обратном направлении, воспринимается как органная, потому что каждая нота звучит сначала чуть слышно и лишь потом достигает полного звучания. Совершенно потрясающего эффекта можно достичь, если проигрывать пленку в обратном направлении в помещении с хорошей реверберацией и записывать музыку на второй магнитофон. Тогда, перевернув вторую запись, мы услышим первоначальную мелодию, но каждому звуку будет предшествовать эхо.
29
Канон — последовательное повторение одной и той же темы различными музыкальными инструментами, вступающими по очереди друг за другом.
Музыкальное отражение можно получить и другим способом.
Для этого надо повернуть пианиста на 180°, то есть так, чтобы он играл слева направо, но высокие и низкие ноты на клавиатуре поменялись бы местами. Отраженная музыка получилась бы и в том случае, если бы пианист играл как обычно, но на инструменте, отраженном в зеркале. Мелодия стала бы неузнаваемой, кроме того, возник бы неожиданный эффект замены мажорного лада минорным, и наоборот. Этот прием также использовали в канонах композиторы эпохи Возрождения и в контрапункте — композиторы, жившие позднее. Классическим примером может служить «Искусство фуги» И. С. Баха, где двенадцатая и тринадцатая фуги допускают обращение именно второго типа. Моцарт однажды написал канон, в котором побочной темой служила главная тема, читаемая с конца. Это произведение два музыканта могли бы исполнять по одним и тем же нотам, только один из них читал бы их слева направо, а другой — справа налево.
Обращаясь к двумерным структурам, мы видим, что, например, христианский крест симметричен, а древний китайский религиозный символ (рис. 88) — несимметричен.
Рис. 88 Китайская монада инь — ян.
Его темные и светлые участки называются инь и ян. Они символизируют все фундаментальные противоположности, в том числе правое и левое. Их комбинаторные аналоги — четные и нечетные числа.