Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Флексотрубка делается из полоски бумаги, поделенной на четыре квадрата (рис. 100, а), каждый из которых в свою очередь разделен на четыре прямоугольных треугольника.
Рис. 100 Как сложить и вывернуть флексотрубку.
Перегнув полоску в обе стороны по сторонам и диагоналям квадратов, склеим ее концы. У нас получится трубка квадратного сечения. Задача заключается в том, чтобы, пользуясь только намеченными сгибами, вывернуть эту трубку наизнанку. Более долговечную модель можно сделать, наклеив на матерчатую ленту 16 треугольников из картона или тонкого металла. Между треугольниками нужно оставить небольшой зазор, чтобы трубка сгибалась. Выкрасив эти треугольники с одной стороны, вы всегда сможете видеть, как далеко вам удалось продвинуться в выворачивании трубки.
Один из способов решения этой отнюдь не простой задачи показан на рис. 100, б— л. Совместив точки А, превратим трубку в плоский квадрат (рис. 100, в). Положив квадрат на стол, перегнем его вдоль прямой ВВ так, чтобы верхняя половина накрыла нижнюю. У нас получится треугольник, изображенный на рис. 100, г.
Нажав на вершины В, сведем их вместе так, чтобы треугольник превратился в маленький квадрат (рис. 100, д). Особенно внимательно при этом нужно следить за тем, чтобы внутренние выступы разошлись в противоположные стороны. Распечатаем квадрат (рис. 100, е): потянув за середину кармашка С, опустим ее до отказа вниз. Наша бумажная лента будет после этого сложена так, как показано на рис. 100, ж. Треугольник с вершиной в точке D подогнем внутрь, чтобы получился прямоугольник (рис. 100, з).
Раскрыв его, мы снова увидим трубку квадратного сечения (рис. 100, и), которая оказывается вдвое короче исходной.
Проделана половина всех операций — вывернута ровно половина трубки. Сплющим трубку еще раз, снова превратив ее в прямоугольник (рис. 100, к). Этот прямоугольник отличается от показанного на рис. 100, з тем, что он получается при сплющивании трубки по другой диагонали. Начав с операции, показанной на рис. 100, л, «уничтожим следы» того, что уже было сделано, то есть будем производить все действия в обратном порядке. В результате мы и получим вывернутую наизнанку трубку. Известны еще по крайней мере два совершенно различных, но столь же хитроумных способа выворачивания флексотрубки. Додуматься до каждого из них так же трудно, как и до способа, о котором мы только что рассказали.
Не так давно Стоун сумел доказать, что склеенную в форме цилиндра ленту любой ширины всегда можно вывернуть наизнанку, перегибая ее вдоль конечного числа прямых, однако общий метод слишком сложен для того, чтобы мы могли объяснить его здесь.
Естественно, возникает вопрос: можно ли вывернуть бумажный пакет (то есть трубку прямоугольного сечения, заклеенную с одного конца) за конечное число перегибаний? Эта задача еще не решена.
По-видимому, ответ будет отрицательным независимо от соотношения размеров пакета, хотя найти удовлетворительное доказательство этого факта, по всей вероятности, будет крайне трудно.
Глава 18. АНГЛИЙСКИЙ ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ГОЛОВОЛОМОК ГЕНРИ Э. ДЬЮДЕНИ
Генри Эрнест Дьюдени — величайший английский изобретатель головоломок. Трудно в наше время найти хоть одну книгу по занимательной математике, в которой (часто без указания авторства) не нашлось бы нескольких блестящих математических задач, рожденных его неисчерпаемой фантазией.
Дьюдени родился в небольшой английской деревушке Мэйфилд в 1857 году и, следовательно, был на 16 лет моложе американского гения головоломок Сэма Лойда. Не знаю, встречались ли когда-нибудь эти мастера головоломки лично, но в 90-х годах прошлого века они успешно сотрудничали в английском журнале Tit-Bits («Лакомые кусочки»), публикуя в нем серию статей с математическими головоломками, а позднее условились обмениваться своими находками, помещая их в отделах математических игр и головоломок различных газет и журналов. Этим и объясняется большое число совпадений и повторов в публикациях Лойда и Дьюдени.
Очевидно, из этих двух мастеров головоломки Дьюдени был лучшим математиком, чем Лойд. Но Лойд с непревзойденным мастерством умел поразить воображение широкой публики остроумными игрушками и различного рода рекламными трюками. Ни одно из творений Дьюдени никогда не достигало такой поистине мировой известности, какой пользовалась лойдовская игра в пятнадцать или головоломка «Таинственное исчезновение», в которой один из нарисованных по кругу китайских воинов исчезал буквально на глазах зрителей. С другой стороны, произведения Дьюдени отличались большей математической глубиной и тонкостью (однажды Дьюдени назвал ребусы и загадочные картинки, которые Лойд выпускал тысячами, «детской забавой, представляющей интерес лишь для слабоумных»). Подобно Лойду, Дьюдени любил облекать свои задачи в форму забавных анекдотов. В этом ему, по-видимому, оказывала помощь его жена Алиса, написавшая более 30 романов, пользовавшихся в свое время огромной популярностью. Дьюдени принадлежат шесть сборников головоломок (три из них составлены после его смерти, последовавшей в 1931 году). И по сей день они остаются непревзойденными шедеврами занимательной математической литературы.
Первая книга Дьюдени «Кентерберийские головоломки» [35] вышла в свет в 1907 году. По замыслу автора она должна была состоять из серии головоломок, которые по очереди рассказывают те самые пилигримы, чьи истории поведал нам Чосер. [36] «Не стану объяснять, сколь необычным путем эти головоломки попали ко мне в руки, — писал Дьюдени, — а сразу приступлю к делу… чтобы предоставить моим читателям возможность испробовать свои силы в их решении». Помещенная в этой книге задача галантерейщика принадлежит к числу наиболее известных геометрических находок Дьюдени. Задача состоит в том, чтобы разрезать равносторонний треугольник на четыре части, из которых можно было бы составить квадрат (рис. 101).
35
Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки. — М.: Мир, 1979.
36
Чосер Дж. Кентерберийские рассказы. — М.: Гослитиздат, 1946.
Рис. 101 Одна из головоломок Дьюдени. Как разрезать равносторонний треугольник, чтобы из его частей можно было составить квадрат?
Разделим стороны АВ и ВС пополам в точках D и Е. На продолжении отрезка АЕ за точку Е отложим отрезок EF, равный ЕВ. Разделив отрезок AF пополам, опишем дугу AHF с центром в точке G — середине отрезка AF. Продолжим сторону СВ за вершину В до пересечения с проведенной только что дугой в точке Н. Из точки Е как из центра опишем дугу HJ.
На стороне АС отложим отрезок JK равный BE. Из точек D и К опустим перпендикуляры на EJ. Их основания обозначим через L и М. В правом верхнем углу на рис. 101 показано, как следует расположить части треугольника, чтобы составить из них идеальный квадрат. Если получившиеся при разрезании четыре фигуры скрепить между собой в трех вершинах так, как показано на рис. 101 внизу, то они образуют цепочку, которая при складывании по часовой стрелке даст треугольник, а при складывании против часовой стрелки — квадрат. Выступая в 1905 году с докладом о своей задаче перед Лондонским Королевским обществом, Дьюдени демонстрировал решение на модели из красного дерева с бронзовыми шарнирами.
Теорема, впервые доказанная известным немецким математиком Давидом Гильбертом, утверждает, что любой многоугольник, если разрезать его на конечное число частей, можно превратить в любой другой многоугольник, равновеликий первому. Доказательство этой теоремы длинно, но несложно. Оно основано на двух фактах:
1) всякий многоугольник при разрезании его по диагоналям распадается на конечное число треугольников;
2) всякий треугольник можно разрезать на конечное число частей, из которых можно составить прямоугольник с заранее заданным основанием. Это означает, что любой многоугольник самой причудливой формы мы всегда можем превратить в прямоугольник с заданным основанием, если проделаем три операции: разрежем исходный многоугольник на треугольники; разрежем треугольники на части, сложив из этих частей прямоугольники с заданным основанием, равновеликие треугольникам; наконец, прямоугольники с одинаковым (заданным) основанием объединим в один большой прямоугольник с тем же основанием. Производя названные три операции в обратном порядке, мы сможем превратить построенный большой прямоугольник в любой другой равновеликий ему многоугольник.