Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Числители и знаменатели найденных Дьюдени дробей всего лишь двузначны!
Задаче Дьюдени о треугольнике, который нужно разрезать так, чтобы из его частей можно было составить квадрат, было посвящено много писем читателей. Оказалось, что метод Дьюдени после некоторых изменений приложим не только к равносторонним треугольникам, но и к более широкому классу треугольников. Одна читательница сообщила, что задача Дьюдени навела ее сына на мысль сделать набор из четырех столиков, которые при желании можно составить так, чтобы их крышки образовывали либо квадрат, либо равносторонний треугольник. Столики всем очень понравились. Другой читатель, воспользовавшись решением Дьюдени, разбил плоскость на
Некоторые читатели, ошибочно полагая, что точки J и К (на рис. 101) расположены непосредственно под точками D и Е, прислали доказательства того, что из четырех частей треугольника нельзя составить точный квадрат. Но по построению точки J и К не совпадают с основаниями перпендикуляров, опущенных из D и Е. Строгое доказательство точности решения Дьюдени можно найти в статье Честера У. Хоули «Еще одна заметка о превращении квадрата в равносторонний треугольник». [39]
39
Mathematics Teacher. — February 1960.
Интересный вариант задачи Дьюдени о пауке и мухе опубликовал Морис Крайчик. Восемь пауков отправляются на охоту из точки, расположенной на 80 дюймов выше центра торцовой стенки комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.
Каждый из них, следуя своим маршрутом, направляется к мухе, сидящей в точке, расположенной на 80 дюймов ниже центра противоположной стенки комнаты. Каждый паук движется со скоростью 0,65 мили в час. По истечении 625/11 секунды все пауки одновременно настигают муху. Каковы размеры комнаты?
Ответы
Длина кратчайшего пути от паука к мухе равна 40 футам, как видно из развертки комнаты, показанной на рис. 106. Интересно заметить, что эта геодезическая пересекает 5 из 6 граней развертки.
Рис. 106 Ответ к задаче о пауке и мухе.
Муха доползает до капли меда, пройдя 5 дюймов. Ее маршрут на развертке стакана показан на рис. 107.
Рис. 107 Ответ к задаче о мухе и капле меда.
Именно так распространялся бы свет из точки, где сидела муха, в точку, где находится капля меда (от верхнего края стакана луч света отражается по закону: угол падения равен углу отражения). Из чертежа видно, что путь мухи равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами в 3 и 4 дюйма.
Две дроби, сумма кубов которых равна 6, выражаются числами 17/21 и 37/21
Решение задачи о пауках и мухе дано в книге Крайчика.
Глава 19. ЦИФРОВЫЕ КОРНИ
Запишите номер вашего телефона. Из входящих в него цифр, переставленных в любом порядке, образуйте новое число и вычтите из большего числа меньшее. Сложите все цифры ответа. Среди волшебных знаков (рис. 108) найдите звездочку и поставьте на нее палец.
Рис. 108 Волшебные знаки для фокуса с телефонным номером.
Начиная со звездочки (она соответствует числу 1), обходите по часовой стрелке волшебные знаки, прибавляя при каждом шаге по 1 (так, треугольник будет соответствовать 2, три зигзагообразные линии — 3 и т. д.) до тех пор, пока вы не досчитаете до полученной суммы. Ваш счет всегда будет заканчиваться на спирали.
Нетрудно понять, на чем основан этот нехитрый фокус. Он может служить отличным введением в понятие сравнения двух чисел, сформулированное Гауссом. Если два числа при делении на любое заданное число k дают одинаковые остатки, то про такие числа говорят, что они сравнимы по модулю к, а само число k называют модулем сравнения. Например, 16 и 23 при делении на 7 дают остаток 2, следовательно, эти числа сравнимы по модулю 7.
Так как 9 — наибольшая из цифр в десятичной системе счисления, сумма цифр любого числа всегда сравнима по модулю 9 с самим числом. Цифры, которыми записана сумма цифр исходного числа, в свою очередь можно сложить и получить новое, третье число, сравнимое с двумя первыми, и т. д. Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим однозначное число — сам остаток.
Например, 4157 при делении на 9 дает остаток 8. Сумма цифр числа 4157 равна 17 и тоже дает при делении на 9 остаток 8. Сумма цифр числа 17 равна 8. Последнее однозначное число, равное самому остатку, назовем цифровым корнем исходного числа. Оно совпадает с остатком от деления исходного числа на 9, если только этот остаток отличен от 0. Для чисел, сравнимых с 0 по модулю 9, цифровой корень равен не 0, а 9.
Вычисление цифрового корня по сути дела есть не что иное, как давно известный прием «вычеркивания девяток». Им широко пользовались для проверки правильности произведенных выкладок еще в те времена, когда электронных вычислительных машин не было и в помине. В некоторых современных быстродействующих компьютерах этот прием используется как один из методов автоматической самопроверки точности вычислений. Он основан на довольно простом факте: какие бы действия мы ни производили над числами в процессе решения задачи (складывали их, вычитали, умножали и даже делили друг на друга), ответ всегда будет сравним по модулю 9 с числом, получающимся при сложении, вычитании, умножении или делении цифровых корней этих же чисел.
Например, если вы хотите быстро проверить, правильно ли вычислена сумма больших чисел, то достаточно взять цифровые корни слагаемых, просуммировать их и сравнить с цифровым корнем ответа, в котором вы сомневаетесь. Если цифровые корни не сходятся, вы сразу же знаете, что где-то вкралась ошибка. Ошибка может быть и в том случае, когда цифровые корни сходятся, однако с большой уверенностью можно утверждать, что вычисления произведены правильно.
Посмотрим, какое отношение имеет все сказанное к фокусу с телефонным номером. Перестановка цифр номера не меняет его цифрового корня, поэтому, вычитая из большего числа меньшее, мы берем разность двух чисел с одинаковыми цифровыми корнями. Такая разность делится на 9 без остатка. Чтобы понять, почему так происходит, представим большее число как некоторое кратное девяти, к которому прибавлен цифровой корень (остаток при делении числа на 9). Меньшее число состоит из меньшего кратного 9, к которому прибавлен тот же самый цифровой корень. При вычитании из большего числа меньшего одинаковые цифровые корни взаимно уничтожаются и остается число, кратное 9: