Математика для любознательных
Шрифт:
Русские счеты
Есть много полезных вещей, которых мы не ценим только потому, что, постоянно находясь у нас под руками, они превратились в слишком обыкновенный предмет домашнего обихода. К числу таких недостаточно ценимых вещей принадлежат и наши конторские счеты - русская народная счетная машина, представляющая собою видоизменение знаменитого «абака», или «счетной доски» наших отдаленных предков. Древние народы - египтяне, греки, римляне - употребляли при вычислениях счетный прибор «абак», очень походивший на наши десятикосточковые счеты. Это была доска (стол), разграфленная на полосы, по которым передвигали особые шашки, игравшие роль косточек наших счетов. Такой вид имел греческий абак. Абак римский имел
В средние века вплоть до XVI в. подобные приспособления были широко распространены в Европе. Но в наши дни видоизмененный абак - счеты - сохранился, кажется, только у нас да в Китае (семикосточковые счеты, «суан-пан» [48] ). Запад не знает десятикосточковых счетов, - вы не найдете их ни в одном магазине Европы. Быть может, потому-то мы и не ценим этого счетного прибора так высоко, как он заслуживает, смотрим на него, как на какую-то наивную кустарную самодельщину в области счетных приборов.
48
Семикосточковые счеты в Китае чрезвычайно распространены; они изготовляются всевозможных размеров, до самых миниатюрных (у меня имеется привезенный из Китая экземпляр в 17 мм длины и 8 мм ширины).
Между тем, мы вправе были бы гордиться нашими конторскими счетами, так как при изумительной простоте устройства они, по достигаемым на них результатам, могут соперничать в некоторых отношениях даже со сложными, дорогостоящими счетными машинами западных стран. В умелых руках этот нехитрый прибор делает порою настоящие чудеса. Иностранцы, впервые знакомящиеся с нашими счетами, охотно признают это и ценят их выше, нежели мы сами. Специалист, заведовавший одной из крупных русских фирм по продаже счетных машин, рассказывал мне, что ему не раз приходилось изумлять русскими счетами иностранцев, привозивших ему в контору образцы сложных счетных механизмов. Он устраивал состязания между двумя счетчиками, из которых один работал на дорогой заграничной «аддиционной» машине (т. е. машине для сложения), другой же пользовался обыкновенными счетами. И случалось, что последний, - правда, большой мастер своего дела, - брал верх над обладателем заморской диковинки в быстроте и точности вычислений. Бывало и так, что иностранец, пораженный быстротой работы на счетах, сразу же сдавался и складывал свою машину обратно в чемодан, не надеясь продать в России ни одного экземпляра.
– К чему вам дорогие счетные машины, если вы так искусно считаете при помощи ваших дешевых счетов!
– говорили нередко представители иностранных фирм.
Правда, на русских счетах нельзя производить всех тех действий, которые выполняются машинами. Но во многом, - например, в сложении и вычитании, - счеты могут соперничать со сложными приборами. Впрочем, в искусных руках умножение и деление также значительно ускоряются на счетах, если знать приемы выполнения этих действий.
Познакомимся же с некоторыми из них.
Умножение на счетах
Вот несколько приемов, пользуясь которыми всякий, умеющий быстро складывать на счетах, сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.
Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.
При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собою.
Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, - т. е. умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счетов - мы уже объяснили выше, на стр. 159 ).
Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.
Вместо умножения на 7 множат на 10 и отнимают умножаемое три раза.
Умножение на 8 заменяют умножением на 10 без 2-х.
Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 без 1.
При умножении на 10 - переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.
Читатель, вероятно, уже и сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа больше 10-ти и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить на 10 + 1. Множитель 12 заменяют на 10 + 2, или практически 2 + 10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют уде - сятеренное. Множитель 13 заменяется на 10 + 3 и т. д.
Рассмотрим несколько особых случаев для множителей первой сотни:
Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п.; поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.
К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения - это все же дает некоторое сокращение времени.
Деление на счетах
Выполнять деление с помощью конторских счетов гораздо труднее, чем умножать; для этого нужно запомнить целый ряд особых приемов, подчас довольно замысловатых. Интересующимся ими придется обратиться к специальным руководствам. Здесь укажу лишь, ради примера, удобные приемы деления с помощью счетов на числа первого десятка (кроме числа 7, способ деления на которое чересчур сложен).
Как делить на 2, мы уже знаем ( стр. 159 ) - способ этот очень прост.
Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в замене деления умножением на бесконечную периодическую дробь 3,3333… (известно, что 0,333… = 1/3). Умножать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшать в 10 раз тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После недолгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд длинноватый, оказывается довольно удобным на практике.
Деление на 4, конечно, заменяется двукратным делением на 2.
Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.
На 6 делят с помощью счетов в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.
Деление на 7, как мы уже сказали, выполняется с помощью счетов чересчур сложно, и потому здесь излагать его не будем.
На 8 делят в три приема: сначала на 2, потом полученное вновь на 2, и затем еще раз на 2.
Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что 1/9 = 0,1111… Отсюда ясно, что вместо деления на 9 можно последовательно складывать 0,1 делимого + 0,01 его + 0,01 его и т. д. [49]
49
Этот прием полезен и для устного деления на 9.