Математика, Философия и Йога
Шрифт:
Рассказывают, что один математик, у которого возникла совершенно непрактичная идея, воскликнул: «Слава Богу, что эта мысль не имеет никаких вообразимых сфер приложения». Разве это странно? Что почувствует художник, если напишет прекрасную картину, а потом некто отберет ее и начнет использовать для продажи «кока-колы»? Те же чувства охватывают и чистого математика. Не все мы слеплены по одному образцу. Вот простой факт: практически все математические творения были созданы чистыми математиками, запиравшимися в башнях из слоновой кости; к тому же всем нам известно, что любые попытки творить ради практической пользы делают творчество невозможным. Единственным исключением стала развитая Ньютоном теория производных, то есть дифференциального
Поговорим об этом подробнее. Вот история о Рамануджане [29], величайшем восточном (индийском) математике моего времени, и об английском ученом Харди [30]. Оба были чистыми теоретиками. На одной из своих лекций Харди рассказывал о том, как нанял кэб и отправился навестить Рамануджана, когда тот гостил в Англии. Появившись, Харди сказал: «Я приехал на кэбе номер 1729 – очень скучное число». Его друг-индиец возразил: «Напротив, это очень интересное число. Это минимальное из всех чисел, которые можно двумя различными способами представить в виде суммы двух кубов». Попробуйте самостоятельно найти решения этой задачи [31].
Дело в том, что вольная душа не трудится, а играет. Действия такого человека представляют собой спонтанное проявление радости, но такой подход приводит к величайшим открытиям. Что касается расцвета формализма, который начался после развития неевклидовых геометрий, то этот подъем стал подлинной революцией в представлениях о природе математики. Была низвергнута сама идея аксиом, то есть убежденность в существовании неких несомненных истин, на основе которых выстраиваются логические рассуждения. Вместо аксиом у математиков осталось только то, что можно назвать «основополагающими исходными посылками». Впоследствии это привело к созданию самых разнообразных экзотических геометрий. В качестве примера используем такие основополагающие исходные посылки (те, кому известны аксиомы Евклида, могут их не узнать):
Аксиома 1. Если а и b – различные элементы множества S, то существует по меньшей мере один класс L, одновременно содержащий в себе и а и b.
Аксиома 2. Если a и b – различные элементы множества S, то существует не более одного класса L, одновременно содержащего в себе и а и b.
Аксиома 3. Любые два класса L имеют по меньшей мере один общий элемент из множества S.
Аксиома 4. В множестве S существует по меньшей мере один класс L.
Аксиома 5. Любой класс L содержит по меньшей мере три элемента множества S.
Аксиома 6. Все элементы множества S не могут одновременно принадлежать одному классу L.
Аксиома 7. Ни один класс L не содержит более трех элементов множества S.
Обратимся к практическим приложениям этой геометрии. Предположим, существует некая банковская фирма, у которой есть семь совладельцев. Чтобы обеспечить правильное обращение с информацией, относящейся к вопросам ценных бумаг, совладельцы решили образовать семь комиссий, каждая из которых будет связана с определенной областью. Кроме того, партнеры договорились, что каждый из них должен стать председателем какой-либо комиссии и членом трех – ровно трех – комитетов в целом. Запишем названия комиссий и списки их членов; председателем подразделения является тот совладелец, чье имя указано первым:
Внутренние железные дороги: Адаме, Браун, Смит. Муниципальные долговые обязательства: Браун, Мерфи, Эллис.
Федеральные долговые обязательства: Мерфи, Смит, Джонс. Южноамериканские ценные бумаги: Смит, Эллис, Гордон. Национальная черная металлургия: Эллис, Джонс, Адаме. Континентальные ценные бумаги: Джонс, Гордон, Браун. Акции коммунальных предприятий: Гордон, Адаме, Мерфи.
Бесплотный дух Евклида! Вот чем становится современная геометрия! Этот список полностью соответствует нашим аксиомам. В прошлом слово «геометрия» обозначало землемерные работы, но теперь это понятие потеряло прежний смысл. Сейчас формалисты утверждают, что математика – это игра с формальными сущностями; подобно шахматам, она не несет никакого содержания, и все же люди играют в нее очень серьезно.
Лекция 3
С момента нашей прошлой встречи я большую часть времени был опьянен, но не тем вином, что делают из винограда, а совсем иным напитком – тем, который воспевают персидские мистики. Я окидывал взглядом танец мысли, представляемый на мировой сцене, я видел многих танцоров. Я видел Декарта [1], который валялся в постели до полудня, флиртуя с аналитической геометрией, – так и родилась современная мысль, математическая и философская. Я видел еще одного молодого человека в возрасте около двадцати четырех лет; он был так поглощен своими «Principia» [2], что забывал о еде и сне, но мышление этого человека стало тем ритмом, под который сегодня танцуют все инженеры. Этот молодой человек по имени Ньютон был настолько влюблен в свои «Principia», что однажды, как рассказывают, оставил у стола с поданным завтраком своего друга и сестру – она не имела над ним власти. Прошло несколько часов, друг Ньютона проголодался и решил немного поесть… а потом еще немного… и в конце концов съел все, что было на столе. А позже сэр Исаак Ньютон (впрочем, тогда он еще не был «сэром») спустился вниз, кивнул приятелю, сел за стол, посидел немного и сказал: «Мне казалось, что сегодня утром я еще не ел, но, должно быть, я ошибся». Такое случается со всеми танцорами мысли.
Еще одним человеком, который обладал всеми знаниями, известными миру Запада, – последним человеком, знавшим все, – был Лейбниц; он создал великую математику и великую философию. Кроме того, были Вейерш-трасси его чела Софья [3], которая стала величайшей женщиной-математиком. Был Гильберт, лучший математик своих дней. Однажды, читая лекцию студентам, он запнулся, так как не мог умножить 6 на 7. Один студент с готовностью выкрикнул: «41», а другой: «43». Гильберт ответил: «Господа, господа, я уверен, что существует единственный правильный ответ». Хорошее подтверждение тому, что математики редко умеют хорошо считать. Это две весьма различные способности.
Помимо того, я пересек мысленным взором весь мир и заглянул в чужие земли, чтобы увидеть Шанкару-математика из математиков, который еще мальчиком скитался по всей Индии и вызывал смятение у браминов; он уводил мужей от жен, так как те становились его саньясинами. По каким-то непонятным причинам женам это очень не нравилось, но выбора не было – оставалась только возможность примкнуть к рядам победителя. Взмахивая волшебной палочкой своей логики, этот человек заставил мир зримых проявлений исчезнуть, и на месте этого мира не осталось ничего, кроме Бога.
Вот пример его могущественной логики. Шанкара говорил, что, когда человек осознает иллюзорность определенного явления, это явление не только прекращает существование, но и лишается права на существование когда бы то ни было. Возможно, вам будет проще понять это, если такое переживание сравнить со зрелищем миража в пустыне. Путешествуя по пескам, вы видите прекрасное озеро. Иссушающая жара заставляет воду выглядеть особенно освежающей. Вы идете к озеру до тех пор, пока не замечаете некую странность, и тогда понимаете, что видите мираж. Что произошло с озером, когда оно было осознано как мираж? Оно просто исчезло в тот момент или же оно перестало быть когда бы то ни было? Вот еще один пример: вы идете по той же пустыне, замечаете змею и отпрыгиваете в сторону. Затем вы понимаете, что это просто палка, кусок веревки или какой-то другой похожий на змею предмет. Что случилось со змеей? Она просто исчезла в тот момент или перестала существовать во все времена? Подумайте об этом.