Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Положение, сложившееся в 30-е годы, красочно описал математик Эрик Темпл Белл:
Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надежным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения… Знания как в некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам обоснования математики, по-видимому, не существует… Ясно одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений, хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на универсальность, общность или неоспоримость.
Что могла ожидать математика от будущего? Как мы увидим, будущее принесло множество новых, не менее серьезных проблем.
XII
Бедствия
Оглядываясь назад, можно сказать, что состояние оснований математики в 30-е годы XX в. было вполне удовлетворительным. Парадоксы были разрешены, хотя каждая из школ в основаниях математики решала их по-своему. Правда, не существовало единого мнения относительно того, какую математику надлежит считать правильной, но каждый математик мог выбрать подход, наиболее отвечающий его вкусам, и действовать в соответствии с принципами, которых придерживались сторонники данного направления.
134
Шекспир В. Избранные произведения. — М. — Л.: ГИХЛ, 1950, с. 581 (перевод М.Л. Лозинского).
Однако две проблемы продолжали беспокоить математиков. Первой, и главной, была проблема доказательства непротиворечивости математики —та проблема, которую в 1900 г. поставил в своем докладе на II Международном математическом конгрессе в Париже Гильберт. Хотя известные парадоксы были разрешены, опасность возникновения в будущем новых парадоксов по-прежнему существовала. Вторая проблема, не дававшая покоя математикам, была связана с так называемой полнотойаксиоматических систем. Говоря кратко, полнота системы аксиом, описывающих какую-либо область математики, означает в известном смысле адекватность этой аксиоматики тому разделу науки, который с ее помощью задается, т.е. означает возможность доказать на основе принятой системы аксиом истинность или ложность любого осмысленного утверждения, содержащего понятия рассматриваемой области математики.
На самом элементарном уровне проблема полноты сводится к вопросу о том, можно ли на основании аксиом Евклида доказать (или опровергнуть), например, разумную гипотезу о том, что в евклидовой геометрии высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. На более высоком уровне (в области кардинальных трансфинитных чисел) проблему полноты иллюстрирует гипотеза континуума (гл. IX). Полнота аксиоматической системы требует, чтобы с помощью аксиом теории множеств гипотезу континуума можно было или доказать, или опровергнуть. Полнота аксиоматики арифметики (теории чисел) требует, чтобы с помощью аксиом теории чисел (т.е. аксиом, задающих множество натуральных чисел) можно было либо доказать, либо опровергнуть гипотезу Гольдбаха, согласно которой каждое четное число представимо в виде суммы двух простых чисел. Пока мы не знаем, верна эта гипотеза или не верна, но если аксиоматика арифметики полна, то она либо верна, либо не верна — третьего исхода нет. Проблема полноты затрагивает также множество других утверждений, которые на протяжении десятилетий и даже веков математикам не удавалось ни доказать, ни опровергнуть.
Представители различных направлений в основаниях математики по-разному относились к проблемам непротиворечивости и полноты. Рассел перестал считать абсолютными истинами логические аксиомы логицистов и признал, что введенная им аксиома сводимости (гл. X) носит искусственный характер. Развитая Расселом теория типов позволила избежать известных парадоксов, и он полагал, что названная теория даст возможность разрешить и новые парадоксы, которые могут возникнуть в будущем. Но одно дело — субъективная уверенность и совсем иное — доказательство. Решить проблему полноты Расселу так и не удалось, несмотря на все его усилия.
Представители теоретико-множественного направления были убеждены в том, что их подход не приводит к новым противоречиям, однако доказать это они не могли. Проблема полноты была не единственной, и даже не главной, их заботой. Интуиционисты также довольно безразлично относились к проблеме непротиворечивости. Они считали, что интуитивные представления
Однако формалисты во главе с Гильбертом не были настроены столь благодушно. Предприняв некоторые, весьма ограниченные, попытки решить проблему непротиворечивости в первые годы XX в., Гильберт вернулся к этой проблеме и к проблеме полноты в 1920 г.
Свой метод доказательства непротиворечивости Гильберт в общих чертах изложил в метаматематике. Что же касается полноты, то в статье «О бесконечном» (1925) Гильберт, по существу, повторил идеи, высказанные им в докладе на II Международном математическом конгрессе в Париже (1900). Там Гильберт утверждал, что «каждая определенная математическая проблема непременно поддается строгому решению». Ту же мысль, только развитую несколько подробнее, мы находим в статье Гильберта от 1925 г.:
В качестве примера возможного подхода к решению фундаментальных проблем я хотел бы избрать тезис о разрешимости любой математической задачи. Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддается решению. Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus[мы не будем знать].
Выступая с докладом на Международном математическом конгрессе в Болонье (1928), Гильберт подверг критике прежние доказательства полноты как построенные на использовании принципов логики, недопустимых в математике, но выразил несокрушимую уверенность в полноте своей собственной системы: «В нашем мышлении нет ничего таинственного — мы мыслим по вполне определенным и формулируемым правилам, которые твердо гарантируют абсолютную надежность наших суждений». Каждый математик, по словам Гильберта, разделяет убеждение в разрешимости любой четко поставленной математической проблемы. В статье «Естествознание и логика» (1930) Гильберт утверждал: «На мой взгляд, истинная причина, в силу которой Конту {135} не удалось найти неразрешимую математическую проблему, заключается в том, что неразрешимых проблем не существует».
135
Огюст Конт (1798-1857) — видный французский философ, один из основоположников и бесспорный лидер позитивизма,утверждающего, что целью науки являются наблюдение и эксперимент, а также формулировка тех выводов, которые прямо отсюда следуют. Конту принадлежит идея о естественной иерархии наук в направлении уменьшения их абстрактности; при этом при построении любой науки должны быть известны основные факты всех предшествующих ей наук. Эта «лестница Конта» начиналась с математики(являющейся, таким образом, фундаментом любого знания) и заканчивалась социологией(термин, впервые введенный Контом).
В работе «Обоснования математики», о которой Гильберт доложил в 1927 г., а опубликовал в 1930 г., он, по существу, развил свои идеи, выдвинутые в работе 1905 г. По поводу предложенного им метаматематического метода (теории доказательства) установления непротиворечивости и полноты Гильберт утверждал следующее:
С помощью этого нового обоснования математики, который справедливо можно именовать теорией доказательства, я преследую важную цель: именно, я хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в поддающуюся конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым приведя образование понятии и выводы, которыми пользуется математика, к такому изложению, при котором они были бы неопровержимы и все же давали бы картину всей науки. Я надеюсь, что смогу с помощью своей теории доказательства полностью достигнуть этой цели, хотя до ее полного завершения необходима еще большая работа.