Математика. Утрата определенности.

Клайн Морис

Однако интуиционисты не только отказались от неограниченного использования закона исключенного третьего для доказательства существования математических объектов, но и выдвинули еще одно требование. Они сочли неприемлемым задавать множество свойством, присущим всем его элементам (например, множество, задаваемое признаком «красный», присущим всем элементам этого множества). По мнению интуиционистов, математическому рассмотрению подлежат только конструктивные понятия и объекты, только о них имеет смысл утверждать, что они существуют. Иначе говоря, необходимо указывать метод, позволяющий построить объект или объекты за конечное число шагов (или вычислить с любой требуемой степенью точности). {122} Так, число , с точки зрения интуиционистов, вполне приемлемо, так как возможно выписать любое число верных знаков его десятичной записи. Если бы нам удалось доказать, что при некотором n > 2существуют целые числа x, yи z,удовлетворяющие уравнению x ⁿ+ y ⁿ= z ⁿ(т.е. доказать великую теорему Ферма), но мы не могли бы при этом указать конкретные значения чисел n, x, yи z, то интуиционист не принял бы такого доказательства. {123} С другой стороны, определение простого числа конструктивно, так как можно указать

метод, позволяющий за конечное число шагов установить, является ли то или иное число простым.

122

Несколько иначе подходил к понятию «существования» математического объекта Пуанкаре. Для него, как для формалистов (гл. XI), понятие было приемлемым, если оно не приводило к противоречиям.

123

В настоящей, не рассчитанной на математиков, книге автор иногда позволяет себе пренебречь точностью ради большей выразительности. В частности, приведенный в книге пример «истинные интуиционисты», пожалуй, и не приняли бы [менее яркий, но более корректный пример: задача об отыскании максимума функции переменных]. Дело в том, что множество всевозможных четверок (x, y, z, n)целых (или натуральных) чисел счетно,т.е. его можно упорядочить наподобие ряда натуральных чисел (где n > 2). Поэтому доказательство существования решения уравнения Ферма одновременно устанавливает, что решение может быть найдено в процессе, конечного (хоть и неопределенно длинного — это неважно!) перебора четверок (x, y, z, n)и проверки выполнимости равенства x ⁿ+ y ⁿ= z ⁿдля каждой из них, а такой конечный перебор, разумеется, является вполне эффективной процедурой.

Рассмотрим еще один пример. Числами-близнецами называют простые числа вида l - 2и l, например 5 и 7, 11 и 13. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количество пар чисел-близнецов. Пусть теперь l— наибольшее простое число, такое, что l - 2также простое число, если этому нашему определению отвечает какое-то значение lили же l = 1, если l, описываемое первым условием, не существует. Классицист сочтет число lвполне определенным независимо от того, известно или не известно, что последняя пара чисел-близнецов существует, так как по закону исключенного третьего такая пара чисел либо имеется, либо нет, — и, значит, lопределено либо первым, либо вторым ( l = 1) способом. То, что реально мы не в состоянии вычислить l, для неинтуиционистов несущественно. Интуиционист же будет считать приведенное выше «определение» числа lлишенным смысла до тех пор, пока число lнельзя будет вычислить, т.е. пока не будет решена проблема конечности или бесконечности числа пар чисел-близнецов. Требование конструктивности относится, в частности, и к определению бесконечных множеств. Бесконечные множества, построенные с помощью аксиомы выбора, неприемлемы с точки зрения интуиционистов. Как показывают приведенные выше примеры, некоторые из доказательств существования неконструктивны. Следовательно, их необходимо отвергнуть не только потому, что в них может использоваться закон исключенного третьего, но и по другой причине.

По выражению Германа Вейля, неконструктивные доказательства существования извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом его местонахождение, т.е. не позволяя это сокровище использовать. Такие доказательства не могут заменить построение — подмена конструктивного доказательства неконструктивным влечет утрату смысла и значения самого понятия «доказательство». Вейль указал, что приверженцы философии интуиционизма вынуждены отказаться от наиболее важных теорем существования классического анализа. Канторовскую иерархию трансфинитных чисел Вейль считал очень запутанной. Классический анализ, писал Вейль в книге «Континуум» (1918), — это дом, построенный на песке. Уверенным можно быть только в том, что доказано интуиционистскими методами.

Отрицание закона исключенного третьего приводит к возможности появления новых типов неразрешимых высказываний. В бесконечных множествах, как утверждают интуиционисты, возможна третья ситуация: могут существовать высказывания, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Интуиционисты приводили пример такого высказывания. Пусть, по определению, число kхарактеризуется условием, согласно которому k-e положение в десятичном разложении числа занимает первый нуль, такой, что за ним по порядку следуют цифры от 1 до 9. По логике Аристотеля, kлибо существует, либо не существует, и математики, следуя Аристотелю, исходили в своих рассуждениях лишь из этих двух возможностей. Брауэр и интуиционисты отвергли все рассуждения подобного типа на том основании, что неизвестно, удастся ли нам вообще когда-либо доказать, существует ли число kили не существует. Иначе говоря, по мнению интуиционистов, существуют вполне осмысленные и важные математические проблемы, которые могут оказаться неразрешимыми, какое бы обоснование мы ни подводили под математику . {124} Эти вопросы могут казаться нам разрешимыми только потому, что они касаются понятий и проблем, сходных с теми, которые нам уже приходилось решать в прошлом.

124

Ср. с обсуждением в гл. XII современного положения с канторовской проблемой континуума.

С точки зрения интуиционистов неприемлемы классическое и логическое (аксиоматическое) построения системы вещественных чисел, математический анализ, современная теория функций вещественного переменного, интеграл Лебега и многие другие понятия и теории. Брауэр и его сторонники не ограничивались критикой и пытались построить математику на конструктивной основе. Им удалось спасти некоторые разделы перечисленных выше теорий, но конструктивные варианты отличались такой сложностью, что даже разделявший философию интуиционизма Вейль сетовал по поводу невыносимой громоздкости конструктивных доказательств. Среди прочего интуиционистам удалось перестроить на конструктивной основе элементарные разделы алгебры и геометрии.

Тем не менее перестройка происходила чрезвычайно медленно. И в 1927 г. в статье «Обоснования математики» ([50], с. 365-388; ср. также [50], с. 389-399) Гильберт с полным правом заявил: «Какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами по сравнению с могущественным размахом современной математики!» ([50], с. 383). Разумеется, в 1927 г. интуиционистам, по их же собственным меркам, не удалось продвинуться сколько-нибудь далеко в осуществлении своей программы перестройки классической математики. К сожалению, интуиционисты, как и логицисты, не смогли прийти к единому мнению относительно того, на какой основе производить эту перестройку. Одни считали необходимым исключить все общие теоретико-множественные понятия и ограничиться лишь теми понятиями, которые допускают эффективное определение или построение. Менее экстремистскую позицию занимали конструктивисты, не ставившие под сомнение классическую логику, а стремившиеся как можно полнее использовать ее. {125}

Некоторые выделяли определенный класс математических объектов, а затем вводили конструктивные методы. Немало было и тех, кто допускал по крайней мере тот или иной класс вещественных чисел (не охватывавший весь континуум вещественных чисел). Другие допускали лишь целые числа, а из остальных чисел и функций признавали лишь вычислимые. При этом различные группы понимали вычислимость по-разному. Например, число считалось вычислимым, если к нему можно было приближаться со все возрастающей точностью (эффективно определяя точность приближения!), используя допустимые числа из некоторого множества, по аналогии с тем, как к обычным иррациональным числам можно все более точно приближаться с помощью конечных десятичных дробей.

125

Дальнейшее развитие идей интуиционизма привело к созданию так называемого конструкционизма(или даже нескольких различных конструктивистских школ), признававшего только те математические объекты, которые допускают прямое построение; в частности, большое развитие получала ленинградская (а позднее московская) конструктивистская группа, возглавляемая А.А. Марковым-мл. (1903-1980); по этому поводу см. [65] и [66], а также примечания А.А. Маркова к русскому переводу книги [67].

К сожалению, понятие «конструктивность» отнюдь не является ни четким, ни однозначным. Рассмотрим число N,определенное следующим образом:

На время положим p = 3. Тогда N = 1 - 0,001 = 0,999. С другой стороны, если p = 2, то N = 1,01.Пусть теперь p— первый знак в десятичном разложении числа , следующий после группы цифр 123456789, идущих друг за другом именно в этом порядке; если же такое pвообще не существует, то положим, что N,по определению, равно 1. Если число pсуществует и четно, то N = 1,000…(на p-м месте после запятой стоит 1). Если число p нечетно, то N = 0,999…( pдевяток после запятой). Однако мы не знаем, существует ли определенное выше число p.Если оно не существует, то N = 1.Если же pсуществует, но не встречается, например, среди первой тысячи знаков десятичного разложения числа , то мы не можем даже начать выписывать N.Тем не менее Nопределено, и его даже можно записать с любойстепенью точности. Но разве определение Nконструктивно?

Разумеется, доказательства существования, использующие аксиому выбора или гипотезу континуума, не конструктивны; они неприемлемы не только для интуиционистов, но и для многих математиков, не разделяющих идей интуиционистов.

Хотя разные группы интуиционистов и конструктивистов в чем-то расходились между собой, им все же удалось перестроить значительную часть классической математики. Некоторые из перестроенных на конструктивной основе теоремы оказались более узкими, чем их неконструктивные прототипы. Когда интуиционистам указывали на это, они отвечали, что классический анализ при всей своей несомненной полезности по математической истинности уступает конструктивному анализу. Резюмируя, можно сказать, что конструктивистам удалось добиться лишь весьма ограниченных успехов и что перспективы распространить конструктивистский подход на всю современную математику нельзя считать обнадеживающими. Имея в виду медленный прогресс конструктивистского направления, математики из школы Бурбаки, о которой у нас пойдет речь в дальнейшем, заметили: «Интуиционистская школа, о которой математики вспоминают как о своего рода историческом курьезе, во всяком случае, оказала услугу математике тем, что заставила своих противников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни — логического порядка, другие — психологического) их веры в математику» ([68], с. 53). {126} Критики интуиционизма вполне могли бы процитировать четверостишие Сэмуэля Хоффенштейна:

126

Критику интуиционизма главой советской конструктивистской школы математиков А.А. Марковым см. на с. 5 книги [67].

Мало-помалу все станет гладко, Коль все ошибки изымем из факта, Иллюзий плевелы — из истины золота, Но разум погибнет от лютого голода.

Чтобы гарантировать надежность оснований математики, интуиционисты готовы даже пожертвовать какими-то разделами классической математики и не считают слишком высокой ценой отказ от «рая» канторовской теории трансфинитных чисел.

Хотя противники интуиционизма иногда излишне бесцеремонно и догматически требовали отказа от интуиционистской философии, критические замечания в адрес интуиционизма высказывали и сочувствующие ему люди — и к этим замечаниям нельзя не отнестись серьезно. В частности, одно из критических замечаний состояло в том, что теоремы, которые интуиционисты столь лихорадочно стремились перестроить в соответствии со своими принципами, не были подсказаны интуицией и вряд ли подкреплялись ею. Открытию этих теорем в равной мере способствовали все известные математические методы, всевозможные рассуждения, догадки, обобщения частных случаев и внезапные, не поддающиеся рациональному объяснению озарения. Следовательно, на практике интуиционисты не менее других зависят от обычных методов, принятых в математике, и даже от классической логики, хотя и пытаются реконструировать доказательства в соответствии со своими принципами. В ответ на подобное замечание интуиционисты могли бы возразить, что когда новые результаты устанавливаются традиционными методами, сами результаты вполне могут оказаться интуитивно приемлемыми. Не отрицая важности других утверждений интуиционизма, нельзя не отметить, что многие теоремы, даже приемлемые для интуиционистов, содержат столь тонкие и далекие от интуиции утверждения, что трудно представить, как может человеческий разум непосредственно воспринимать их истинность.

Тезис о важной роли обычных приемов математического творчества, а также идеализации и абстракции выдвинули Феликс Клейн и Мориц Паш. Разве интуиция могла бы открыть непрерывную (нигде не дифференцируемую) функцию {127} или кривую, покрывающую квадрат (кривую Пеано)? Такого рода «патологические» математические объекты, даже если их существование подсказано интуицией, подлежат «очищению», которое производится путем идеализации и абстракции. По выражению Клейна, примитивная интуиция не точна, а утонченная интуиция вообще не является интуицией, а возникает в результате логического вывода из аксиом. В ответ на требование полагаться на надежность логического вывода из аксиом Брауэр возразил, что непротиворечивость системы аксиом доказывается с помощью интерпретаций или моделей (гл. VIII), относительно которых должно быть известно, что они непротиворечивы. Всегда ли мы, справедливо заметил Брауэр, располагаем такими моделями, и не полагаемся ли мы на интуицию, объявляя их непротиворечивыми?

127

Не останавливаясь подробно, упомянем лишь о методологических установках яркой и пользующейся известностью книги Б. Мандельброта [69], которые кратко (и не совсем точно) можно охарактеризовать как утверждение о том, что в реальном мире мы чаще всего встречаемся именно с нигде не дифференцируемыми («изломанными») функциями, а «гладкие» функции представляют собой не более чем идеализированное описание негладких.