Мечта об идеальной карте. Картография и математика
Шрифт:
Однако теорию Ньютона, согласно которой Земля была слегка сплюснута у полюсов, разделяли не все ученые того времени. Так, результаты измерений, которые провели итальянский математик и астроном Джованни Доменико Кассини (1625–1712), глава Парижской обсерватории, и его сын, Жак Кассини (1677–1756), в разных точках одного и того же меридиана, заставили их думать, что Земля вытянута у полюсов и сплюснута у экватора. Эти расхождения вызвали жаркие споры, которые вылились в противостояние английской и французской науки и разделили Парижскую академию наук на два непримиримых лагеря. Чтобы положить конец разногласиям, примерно в 1735 году академия приняла решение отправить две экспедиции в разные точки земного шара для измерения дуги, соответствующей одному градусу широты у полюса и у экватора. Мопертюи (1698–1759)
Более поздние измерения позволили определить эллипсоид, максимально точно описывающий форму земной поверхности. Последними результатами, полученными с помощью спутниковых технологий, стали эллипсоид GRS (от англ. Geodetic Reference System — «геодезическая справочная система») 1980 года, используемый Международным геодезическим и геофизическим союзом, и WGS (от англ. World Geodetic System — «всемирная геодезическая система») 1984 года, ставший мировым стандартом. В системе GPS (от англ. Global Positioning System — «система глобального позиционирования») эта модель используется для вычисления широты, долготы и высоты.
* * *
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Запуск космических ракет всегда производится на широтах, близких к экватору. Корабли NASA стартуют с мыса Канаверал в штате Флорида, ракеты Европейского космического агентства (ESA) — из космодрома близ города Куру во Французской Гвиане. Россия и Япония не имеют территорий на этой широте, поэтому производят запуски севернее или применяют промежуточные решения, например арендуя площадки у других стран или используя плавучие космодромы в Тихом океане. Вызвано это тем, что сила тяготения вблизи экватора меньше, так как радиус Земли в этих широтах больше, а сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли. Кроме того, по мере приближения к экватору возрастает и центробежная сила вращения Земли, так что при запуске с космодрома, расположенного вблизи экватора, ракетам для выхода на орбиту требуется меньше топлива.
Воздействие силы тяготения проявляется и в спорте. Так как сила тяжести у экватора ниже, метатели и прыгуны в высоту показывают более высокие результаты вблизи экватора, а не на севере Европы. А вот в соревнованиях по горным лыжам, где главную роль играет скорость, благодаря большей силе тяготения на севере Европы рекорды ставятся чаще, чем в странах, находящихся ближе к экватору.
* * *
Картографы в зависимости от решаемой задачи используют сферическую модель Земли либо одну из эллипсоидных моделей. Сфера используется в качестве модели при составлении карт в мелком масштабе, то есть карт стран, континентов или крупных регионов. В этом случае различия между упомянутыми моделями будут незаметны, однако при использовании эллипсоида сложность картографических уравнений намного выше. А вот в картах крупного масштаба, на которых изображаются более мелкие территории, например в топографических или навигационных, различия между моделями будут существенными, при этом использование сферической модели влечет значительные ошибки в расстояниях, площадях и углах, поэтому при составлении таких карт картографы используют эллипсоид.
Утверждая, что земная поверхность имеет форму эллипсоида, мы хотим сказать, что форму эллипсоида имеет воображаемая поверхность, обозначающая средний уровень моря во всех точках земного шара, включая районы, находящиеся над поверхностью воды (как если бы существовал воображаемый канал, соединяющий их с морем). Тем не менее геодезические измерения показывают, что описанная нами поверхность — не эллипсоид, так как уровень моря в разных областях отличается ввиду локальных отклонений силы тяготения, вызванных неоднородностью земной коры и другими факторами. Чтобы учесть эти отклонения, была создана новая модель — геоид (этот термин происходит от греческого «гео» — «Земля» и «оид» — форма»). Геоид — это трехмерная фигура, приближенно описывающая средний уровень моря. Ее можно представить как поверхность спокойного моря, в каждой точке которой сила тяготения (или направление отвеса) перпендикулярна поверхности. Если использовать совсем уж научные термины, то геоид — это эквипотенциальная поверхность земного
В этой книге мы будем считать, что Земля имеет форму сферы, то есть будем использовать сферическую модель.
Математическая модель, описывающая земную поверхность.
Глава 2
Размеры Земли
— Как ты глуп! Видеть тебя — если речь об этом — необходимости у меня, конечно, нет. В тебе, понимаешь ли, нет ничего такого, что особенно радовало бы глаз. Но мне необходимо, чтобы ты жил на свете и чтобы ты не менялся. Ты как платиновый метр, который хранится где-то, не то в Париже, не то поблизости. Не думаю, чтобы кому-нибудь когда-нибудь хотелось его видеть.
— Вот и ошибаешься.
— Не важно, мне во всяком случае не хочется. Но я рада, что он существует, что он равен в точности десятимиллионной доле четвертой части земного меридиана. И я думаю об этом каждый раз, когда при мне что-нибудь измеряют в квартире или когда я покупаю материю. [2]
Жан-Поль Сартр, «Тошнота» (1946)
2
Перевод Ю. Яхиной. — Примеч. ред.
Одновременно с проблемой определения формы нашей планеты возник вопрос о ее размерах. Когда стало понятно, что Земля имеет форму сферы, потребовалось определить ее радиус, так как длина окружности (когда речь идет о сфере, имеется в виду длина любого из ее больших кругов) равна 2r.
И вновь ответ на вопрос дали древние греки. Как мы рассказали в предыдущей главе, Аристотель в своем трактате «О небе» отмечал, что математики вычислили длину окружности земли — 400000 стадиев. По-видимому, здесь он цитирует греческого математика и астронома Евдокса Книдского (ок. 400 года до н. э. — ок. 347 года до н. э.), который считается создателем математической астрономии.
Следующая оценка размеров нашей планеты содержится в книге «Исчисление песчинок», написанной величайшим греческим математиком Архимедом (ок. 287 года до н. э. — ок. 212 года до н. э). В этой книге он оценивает число песчинок во Вселенной, предварительно вычислив ее размеры. На одном из промежуточных этапов Архимед отмечает, что «периметр Земли равен 3000000 стадиев и не больше», хотя признает, что некоторые оценивают размеры Земли в 300 000 стадиев. Эта цифра казалась Архимеду заниженной — он, как и Платон, считал, что наша планета имеет огромные размеры.
Самое известное измерение размеров Земли в древности принадлежит Эратосфену Киренскому (276 год до н. э. — 194 год до н. э.). Чтобы узнать размеры Земли, Эратосфен измерил угол и длину дуги меридиана Александрии. Он определил, что длина всего меридиана равна 252 тысячи стадиев — как вы увидите далее, это очень точный результат. Метод Эратосфена известен нам благодаря греческому астроному Клеомеду (ок. 10 — ок. 70), а также таким классическим авторам, как Герои, Страбон, Плиний и Витрувий.
Эратосфен учел, что Земля имеет форму сферы, а лучи Солнца, достигающие ее поверхности, можно считать параллельными, так как Солнце находится от нас на огромном расстоянии. Ученый провел измерения в Александрии и Сиене (современный Асуан), которые находятся на одном меридиане, определив тем самым дли¬ ну дуги этого меридиана.
Эратосфен определил, что расстояние между Александрией и Сиеной равно 5 тысяч стадиев. Для этого он обратился к погонщикам караванов, которые рассказали ему, что верблюд проходит в день примерно 100 стадиев, а путь от Александрии до Сиены занимает 50 дней. Весьма вероятно, что Эратосфен опирался не только на слова погонщиков верблюдов, а, как хороший ученый, сопоставил их с данными, приведенными в книгах Александрийской библиотеки.