Млечный Путь, 2012 №02
Шрифт:
В «Большом толковом словаре современного русского языка» Д. Н. Ушакова дано такое определение: «ТОПОЛОГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos — место и logos — учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т. е. независящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т. п.)». Более строго можно сказать, что топология — это конкретное средство объединения близких элементов множества в особые непрерывные подмножества.
Важно отметить, что современная топология
Конкретизируя математические абстракции, можно отметить, что очень богато топологиями, например, множество живущих на Земле людей — человечество. Расы, языки, темпераменты, ментальности, профессии и многие другие виды общностей могут являться конкретными топологическими принципами объединения людей в реальные целостные подмножества.
В математике топология занимается изучением в самом общем виде проявлений непрерывности пространства, т. е. его свойств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях — изгибах, растяжениях, сжатиях, скручивании и т. п. без разрывов.
В отличие от метрических геометрий, в топологии не рассматриваются свойства объектов, характеризующиеся расстоянием между парой элементов (точек). И топологически эквивалентными оказываются, например, куб и сфера. Надуйте резиновый куб, и он превратится в сферу!
Теперь о гладкости — «главном герое» эссе Р. И. Пименова. Вот как характеризует он современное понимание гладкости в математике: «…дифференциальная топология установила, что гладкость является совершенно самостоятельным объектом, НЕ ВЫВОДИМЫМ и НЕ СВОДИМЫМ ни из, ни к другим конструкциям».
Дифференциальная топология — это раздел топологии, основанный на аппарате дифференциального исчисления. И именно аксиомы математического анализа (прежде всего, существование бесконечно малых величин и их свойства) и являются основаниями для описания гладкости пространства.
Здесь хотелось бы предупредить читателя от одного распространенного заблуждения. Пространство в математике и физике — это не «бесструктурная и бесформенная пустота». В математике у пространства есть две обязательные характеристики — размерность и метрика. Размерность определяется по числу независимых характеристик (измерений), которые необходимы, чтобы определить точку в этом пространстве. А метрика — это способ задания расстояний между точками пространства. Например, две точки на шаре разделены расстоянием, которое может измеряться «по прямой» (в земных условиях — это прямой туннель из, скажем, Москвы до Иерусалима), а может — по «геодезической», которая равна кратчайшему маршруту самолета на этой трассе.
Чаще всего рассматривают и обсуждают обычное евклидово пространство n измерений. (Напомню, что евклидовыми называют те пространства, расстояния между точками которых измеряются так, как мы определили для «прямого туннеля» — по теореме Пифагора). И, если не оговаривается особо, то по умолчанию принимают n = 3. Чаще просто потому, что мы считаем «наше физическое пространство» трехмерным евклидовым. Но после открытия неевклидовых геометрий и гиперкомплексных чисел в поле зрения математики попали и многие другие пространства, и сегодня их со всеми вариациями и обобщениями существует, вероятно, не меньше, «чем Донов Педров в Бразилии».
Если отвлечься от математического «птичьего языка», то гладкость можно и не определять. Она «дана нам в ощущении» даже в отсутствие зрения, просто «на ощупь».
Обратим внимание — Б. Грин говорит здесь о гладкости трехмерного пространства. Это, как будет видно из дальнейшего, весьма важное обстоятельство!
Итак, существование дифференциала порождает гладкость во всех геометриях. А гладкость порождает причинность.
Все ли в этом мире гладко?
Математический аппарат дифференциального исчисления, основанный на представлении гладкости пространства, использовался и используется физиками для описания реальности во всех ее масштабах: от микромира стандартной квантовой механики с ее уравнениями Шредингера и Дирака, до макромира и даже всего универса в СТО и ОТО Эйнштейна, во всех мыслимых диапазонах скоростей и масс взаимодействующих тел.
Что из всего этого следует? Р. И. Пименов пишет: «…Сложившуюся ситуацию вроде можно было бы описать такими словами: фактически для оправдания как парадигмы дифференциальных уравнений, так и парадигмы детерминированности, использовался НЕЯВНЫЙ ПОСТУЛАТ о выделенности гладких движений».
Почему «парадигма детерминированности» или, другими словами, «стрела времени», попала в один ряд с парадигмой дифференциальных уравнений? Это стало неизбежным в начале XX века, когда физики осознанно ввели новый конструкт — «пространство-время», в котором время объединялось с пространством посредством особой метрики Минковского. И с тех пор детерминизм — однозначная связь прошлого с настоящим и будущим — стал элементом конструкции четырехмерного множества пространства-времени.
И до середины XX века «все было в порядке». Но вот, замечает Р. И. Пименов, «в семидесятые годы XX века Мандельброт выпустил книгу, где собрал богатый материал, убедительно вводивший в практический оборот многие из казавшихся безнадежно „абстрактными“, „заумными“, „патологическими“ математических конструктов.
Заумными и патологическими их считали потому, что в них было невозможно ввести понятие дифференциала. Любой их самый маленький элемент (отрезок, площадка, объем) оказывался „сложно устроенным“ и не имел „бесструктурных областей“, необходимых для существования дифференциалов.
И канторовы дисконтинуумы, и покрывающая всю плоскость кривая Пеано, и ковры-кривые Коха и Серпиньского выглядят теперь как обнаруженные в реальности „главы“ из „геометрии природы“; они помогли понять лунный пейзаж, скопления галактик и многое другое столь же невыдуманное, а глазам предлежащее».