Н. И. Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность
Шрифт:
Умирая, он произнес с горечью: «И человек родился, чтобы умереть». Его не стало 12 февраля 1856 года. За год до своей смерти он участвовал, насколько мог, в пятидесятилетнем юбилее Казанского университета и издал к этому времени французский перевод своего учения о геометрии, которое назвал пангеометрией: оно напечатано в сборнике, изданном по случаю пятидесятилетнего юбилея Казанского университета. Незадолго до смерти Лобачевский, с трудом надев полную форму, представлялся министру народного просвещения Норову. И это было последним усилием исполнить долг службы…
Тяжело становится следить шаг за шагом за разрушением замечательного человека и описывать испытываемые им страдания от сознания нашей общей беспомощности. Отвернемся же от всего личного, бренного и повторим вместе с Фихте: «Нет, не
Посмотрим теперь, в чем заключаются заслуги Лобачевского перед потомством.
Глава VII
Научная деятельность Лобачевского. – Из истории неевклидовой или воображаемой геометрии. – Участие Лобачевского в создании этой науки. – Различные, современные воззрения на будущность неевклидовой геометрии и отношение ее к евклидовой. – Параллель между Коперником и Лобачевским. – Следствия из трудов Лобачевского для теории познавания. – Работы Лобачевского по чистой математике, физике и астрономии.
Происхождение воображаемой, или неевклидовой, геометрии ведет свое начало от постулата Евклида, с которым все мы встречаемся в курсе элементарной геометрии. При занятиях геометрией в детстве нас удивляет обыкновенно не сам постулат, принятый без доказательства, а заявление учителя, что все попытки доказать его до сих пор оставались безуспешными.
Во-первых, нам представляется очевидным, что перпендикуляр и наклонная при достаточном продолжении пересекутся, а во-вторых, это кажется так легко доказать. И трудно найти человека, который бы учился геометрии и никогда не пробовал доказать постулат Евклида. Этому, можно сказать, соблазну одинаково подвержены люди талантливые и бездарные, с той только разницей, что первые скоро убеждаются в несостоятельности своих доказательств, а последние упорствуют в своем мнении. Отсюда бесчисленное множество попыток доказать упомянутый постулат.
На этом постулате, как известно, построена теория параллельных линий, на основании которой доказывается теорема Фалеса о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам. Если бы можно было, не прибегая к теории параллельных, доказать, что сумма углов треугольника равна двум прямым, то из этой теоремы можно было бы вывести доказательства постулата Евклида, и в таком случае вся элементарная геометрия была бы наукой строго дедуктивной.
Из истории геометрии нам известно, что один персидский математик, живший в середине XIII века, первый обратил внимание на теорему Фалеса и старался доказать ее, не пользуясь теорией параллельных. В основе этого доказательства, как и во всех последующих, легко было усмотреть безмолвное допущение того же постулата Евклида. Из бесчисленного множества последующих попыток такого рода заслуживают внимания только труды Лежандра, который почти полвека занимался этим вопросом.
Лежандр стремился доказать, что сумма углов треугольника не может быть ни более, ни менее двух прямых; из этого, конечно, следовало бы, что она должна быть равна двум прямым. В настоящее время доказательство Лежандра признано несостоятельным. Как бы то ни было, не достигнув главной своей цели, Лежандр многое сделал для изложения геометрии Евклида в смысле приспособления ее к требованиям нового времени, и элементарная геометрия в том виде, в каком проходят ее теперь, со всеми ее достоинствами и недостатками, принадлежит Лежандру.
Итальянец-иезуит Саккери в 1733 году в своих исследованиях приближался к идеям Лобачевского, то есть готов был отвергнуть постулат Евклида, но не решился этого высказать, а стремился во что бы то ни стало доказать его, и конечно, так же безуспешно.
В конце прошлого столетия в Германии гениальный Гаусс в 1792 году впервые задал себе смелый вопрос: что произойдет с геометрией, если отвергнуть постулат Евклида? Этот вопрос родился, можно сказать, вместе с Лобачевским, который ответил на него созданием своей воображаемой геометрии.
Сошлемся на слова казанского профессора Васильева, доказавшего свое глубокое уважение к заслугам и памяти Лобачевского; говоря о близких отношениях Бартельса с Гауссом, он замечает:
«Нельзя считать поэтому слишком рискованным предположение, что Гаусс делился своими мыслями по вопросу о теории параллельных со своим учителем и другом Бартельсом. Мог ли, с другой стороны, Бартельс не сообщить о смелых взглядах Гаусса по одному из основных вопросов геометрии своему пытливому и талантливому казанскому ученику?» Разумеется, не мог.
Но умаляет ли все это заслуги Лобачевского? Конечно, нет.
Труды Лежандра, о которых мы упоминали, вышли в 1794 году. Они не удовлетворили, но оживили интерес к теории параллельных, и нам известно, что в первое двадцатипятилетие нашего столетия беспрестанно появлялись сочинения, относящиеся к теории параллельных. По словам профессора Васильева, многие из них и до сих пор сохранились в библиотеке Казанского университета и, как достоверно известно, были приобретены самим Лобачевским.
В 1816 году Гаусс оценил следующим образом все эти попытки: «Немного в области математики вопросов, о которых так много писалось бы, как о пробеле в началах геометрии, и все-таки мы должны признаться честно и откровенно, что в сущности мы не ушли за две тысячи лет дальше Евклида. Такое откровенное и прямое сознание более отвечает достоинству науки, чем тщетные желания скрыть пробел…»
Из всего этого мы видим, что в то время, когда Лобачевский вступал на математическое поприще, все было подготовлено к решению вопроса о теории параллельных в том смысле, в каком это было сделано Лобачевским. В 1825 году вышла теория параллельных немецкого математика Тауринуса, в которой упоминается о возможности такой геометрии, в которой постулат Евклида не имеет места. Первое сочинение Лобачевского, относящееся к этому предмету, представлено было физико-математическому факультету в Казани в 1826 году; оно вышло в свет в 1829 году, а в 1832 году появилось собрание трудов венгерских ученых, отца и сына Болиай, по неевклидовой геометрии. Нам известно, что Болиай-отец был другом Гаусса; из этого можно заключить, что ему более чем Лобачевскому были известны мысли Гаусса; между тем, право гражданства получила в Западной Европе геометрия Лобачевского. Первый труд Лобачевского, появившийся на немецком языке, заслужил, как мы сказали, одобрение Гаусса. По поводу его Гаусс писал к Шумахеру: «Вы знаете, что уже пятьдесят четыре года, как я разделяю те же взгляды. Я, собственно, не нашел в сочинении Лобачевского ни одного нового для меня факта; но изложение весьма различно от того, какое я предполагал дать этому предмету. Автор толкует о предмете как знаток, в истинно-геометрическом духе. Я считал себя обязанным обратить ваше внимание на эту книгу „Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien“, [6] , чтение которой непременно принесет вам большое удовольствие». Письмо это написано в Геттингене и относится к 1846 году. Из него, однако, нельзя заключить, чтобы Гаусс не знал и раньше от Бартельса о трудах Лобачевского. Мы скажем более: невозможно допустить, чтобы Бартельс умолчал об успехах своего талантливого ученика.
6
Геометрические исследования по теории параллельных линий (нем.).