Новая философская энциклопедия. Том третий Н—С

Коллектив авторов

ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКИЙ - рассуждение либо высказывание, в котором, пользуясь средствами, не выходящими (по видимости) за рамки логики, и посылками, которые кажутся заведомо приемлемыми, приходят к заведомо неприемлемому результату Ввиду того что парадоксы обнажают скрытые концептуальные противоречия и переводят их в прямые и открытые, они, согласно законам творческого мышления, помогают при развитии новых идей и концепций. Английский логик Рамсей предложил отличать логические парадоксы от парадоксов семантических, основанных не только на логике, но и на конкретной интерпретации понятий. Многие (причем самые принципиальные) парадоксы находятся на стыке данных двух групп. Таковы, напр., известный с эпохи античности парадокс «Лжец» или не менее известный парадокс Рассела: «пусть R — множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, т. е. R={x|xe x}. Тогда Re R означает, что Re {x|xex}, а это означает, что Re R. T. о., Re R эквивалентно Re R». Критический шаг логического рассуждения, применяющегося в знаменитом парадоксе Кантора о множестве всех множеств, имеет ту же логическую форму. Более тонко выявлена крайняя опасность автореференции (предложений, ссылающихся на самих себя) в парадоксе Кар- ри, выявляющем глубинные логические корни, в частности парадоксов лжеца и Рассела. «Пусть А — произвольное высказывание. Пусть В — высказывание «Если В, то А». Допустим В. Тогда В=>А- Значит, из В следует А в силу правила дедукции, и В доказано без всяких допущений. Но тогда доказано и А». Т. о., Карри показал, что обычная импликация в любой системе с автореференцией позволяет вывести любое предложение, что является грубой формой противоречия (противоречивость по Карри.) Теорема Гёделя о неполноте доказывается при помощи построения, по сути дела являющегося одним из парадоксов автореференции. А именно, строится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость. Она не может быть доказана, потому что тогда мы получили бы прямое противоречие, она не может быть и опровергнута, потому что тогда мы получили бы доказательство ее недоказуемости и, следовательно, ее обоснование. Новый класс логических парадоксов, также лежащий на грани с семантическими, поскольку используется понятие определимости, был открыт Берри, который ввел в рассмотрение сложность объекта. Предложений, содержащих менее ста букв, конечное число. Поэтому с их помощью можно определить лишь конечное число натуральных чисел. Поэтому есть наименьшее число я0, не определимое таким способом. Но тогда фраза «Наименьшее число, не определимое при помощи предложения, содержащего менее ста символов» содержит менее ста символов и определяет я0. Конструкция парадокса Берри интенсивно используется в современной теории сложности вычислений для доказательства трудности решения задач. Она практически сводится к общенаучному принципу, что система может быть полностью познана лишь системой, на порядок более сложной. Примером нерефлексивного логического парадокса является следующий парадокс: «Необходимо, что 9 больше 7. Число больших планет — 9. Значит, необходимо, что число болыших планет больше семи». Данный парадокс также лежит на грани между семантическими и логическими. Конструкция данного парадокса использована в доказательстве теоремы Раиса о неразрешимости нетривиальных свойств вычислимых функций (единственные свойства вычислимых функций, которые могут определяться программой — тождественно истинное и тождественно ложное) и теоремы о невозможности нетривиальных точных предсказателей, т.

е. оракулы, которые не ошибаются, говорят либо только одну истину, либо одну ложь. Этот парадокс сыграл громадную стимулирующую роль при разработке тонких вопросов модальной логики с равенством. Ту же логическую структуру при формализации приобретает и известный парадокс утренней звезды, относящийся к семантическим. Как логические парадоксы часто трактуются законы материальной импликации — «из лжи следует все, что угодно», и «истина следует из всего, что угодно», поскольку они позволяют получить формулы А=»В, в которых А и В никак не связаны по смыслу. Далее, отметим парадокс логического всеведения: Если мы знаем А и А=>В, то мы знаем В. Следовательно, мы знаем все следствия наших знаний, и в частности все логические тавтологии, что невозможно, поскольку их множество бесконечно (а для языка логики предикатов даже неразрешимо). Эти аномалии явились стимулом для развития модальных, па- ранепротиворечивых, эпистемических и релевантных логик, в которых данные парадоксы частично преодолеваются. На самом деле полностью преодолеть их невозможно, поскольку любая успешная формализация является сильным огрублением. Еще один класс парадоксов, возникающих на границе логики и математики, основан на применении точных методов к неточным понятиям. «Человек, у которого на голове нет ни одного волоса — лыс. Если у лысого вырастет еще один волосок, он останется лысым. Значит, все люди лысые». Рассуждение, примененное в данном парадоксе (опять-таки восходящее к античности), интенсивно используется при развитии ультраинтуиционистской математики, имеющей дело с процессами, завершимыми в реальное время. Оно отграничивает реально осуществимые объекты от потенциально осуществимых, и тем самым «шуточный» парадокс приобретает глубокий математический смысл.

194

ПАРАДОКСЫ СЕМАНТИЧЕСКИЕ Развитие современных логических методов привело к новым логическим парадоксам. Напр., Брауэр указал на следующий парадокс классического существования: в любой достаточно сильной классической теории имеется доказуемая формула вида ЗхА(х), для которой нельзя построить никакого конкретного t, такого, что доказуемо A(t). В частности, нельзя построить в теории множеств ни одной нестандартной модели действительных чисел, хотя можно доказать, существование таких моделей. Этот парадокс показывает, что понятия существования и возможности построения необратимо расходятся в классической математике. Далее, нестандартные модели, которые потребовали явного различения языка и метаязыка, привели к следующему парадоксу: «Множество всех стандартных действительных чисел является частью нестандартного конечного множества. Т. о., бесконечное может быть частью конечного». Этот парадокс резко противоречит обыденному пониманию соотношения конечного и бесконечного. Он основан на том, что свойство «быть стандартным» принадлежит метаязыку, но может быть точно интерпретировано в нестандартной модели. Поэтому в нестандартной модели можно говорить об истинности и ложности любых математических утверждений, включающих понятие «быть (не)стандартным», но для них не обязаны сохраняться свойства стандартной модели, за исключением логических тавтологий. Данный парадокс стал основой теории полумножеств, в которой классы могут быть подклассами множеств. И наконец, последний класс логических парадоксов возникает на границах между формализованными и неформали- зуемыми понятиями. Рассмотрим один из них (аргумент Саймона): «Все, что может быть выражено точно, может быть выражено на языке машин Тьюринга. Поэтому в гуманитарных науках могут рассматриваться лишь те модели, которые выразимы на языке машин Тьюринга. Более того, согласно методу диагонализации, любое точное возражение против данной точки зрения само переводится на язык машин Тьюринга и включается в нее». Этот парадокс стимулировал появление теории неформали- зуемых понятий, но ввиду того, что он не был сразу осознан как парадокс, заодно привел к печальным последствиям, поскольку этот софизм, в котором спутаны принципиальная выразимость (требующая нереальных ресурсов) и реальные описания, был воспринят как точное рассуждение и, как отмечено в трудах по когнитивной науке, парализовал почти на 10 лет западную психологию. Отрицание аргумента Саймона после осознания его софистической природы было построено так, что привело к полному отказу от точных понятий и тем самым по существу послужило мотивом для течений типа постмодернизма. В данном случае была допущена логическая ошибка подмены противоречащего суждения противоположным. Я. Н. Непейвода

ПАРАДОКСЫ СЕМАНТИЧЕСКИЕ - парадоксы, формулировка которых зависит от семантических понятий истины, обозначения и т. п. Семантические же понятия выражают отношения между выражениями языка и объектами, к которым они относятся. Логический анализ семантических парадоксов, как показал Л, Тарский, возможен лишь в языках с точно установленной структурой, которыми являются различные формализованные языки дедуктивной логики. В этих языках выделяются множества правильно построенных выражений (термов и формул), определяются правила вывода, доказуемость выражений, являющихся высказываниями. Построенные формальные языки называются языками- объектами, а языки, в которых изучаются языки-объекты, называются метаязыками. Языки, в которых семантические понятия, напр, предикат истинности, применимы к самим выражениям этого языка, называются семантически замкнутыми языками. Как показал А. Тарский, источником парадоксов является семантическая замкнутость языков (очевидно, что естественные языки являются семантически замкнутыми). Примером семантического парадокса является парадокс «Лжец», сформулированный древнегреческим философом мегарской школы Эвбули- дом: «Один критянин сказал, что все критяне лжецы». В др. формулировке этот парадокс выражается следующим образом: «Если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду». Как показал А. Тарский, если сделать метаязык более богатым, чем язык-объект, и включить переводы выражений языка-объекта в метаязык, то парадокс «Лжец» устраняется. В самом деле, пусть язык семантически замкнут, тогда имеются следующие допущения: (1) имеем условия адекватности высказывания X и соответствующего ему «положения дел» р: X — истинное высказывание, если и только если р. Фактически (1) согласуется с аристотелевской концепцией истины. (2) Рассмотрим высказывание: С является неистинным высказыванием. (3) Используя смысл символа «С», установим эмпирически, что (а) «С является неистинным высказыванием» тождественно с «С». Используя допущение ( 1 ) получаем (?) «С является неистинным высказыванием» есть истинное высказывание, если и только если С является неистинным высказыванием. Посылки (а) и (?) порождают противоречие: С является истинным высказыванием, если и только если С является неистинным высказыванием. Источник противоречия — замена в (1) символа р на выражение, частью которого является «истинное высказывание». Оригинальный подход к анализу семантических парадоксов предложил Д. А. Бонвар (и независимо от него шведский логик С. Холден). Согласно Д. А. Бочвару, для анализа парадоксов надоиспользоватьтрехзначнуюлогикусдвумятипамисвязок— внутренними с истинностными значениями «бессмысленно», «истинно» и «ложно» и внешними — только с истинностными значениями «истинно» и «ложно». В логике Д. А. Бочвара определима одноместная внешняя «утверждение бессмысленности». Анализ парадокса состоит в доказательстве бессмысленности парадоксальной формулы, т. е. утверждения, что данная формула бессмысленна. Д. А. Бочвар построил анализ семантического парадокса гетерологичности (в формулировке Г. Вейля). Гетерологичность символа Z выражается предикатом H(Z), который определяется посредством формулы 3(p(R(Z, ф) & ~ (p(Z)), где 3, &, квантор существования, конъюнкция и отрицание, соответственно, R(Z, ф) означает, что «Z обозначает ф», область значений переменной Z есть множество символов, обозначающих свойства, а область значений р — множество самих свойств. Пусть символ «Н» обозначает только предикат Н, т. е. имеют место R («Н», Н) и R («Н», Н): зф = Н. Парадокс гетерологичности выражается формулой X ЧН(«Н») => ~ Н(«Н»)& ~ Н(«Н») э Н(«Н»)).

195

ПАРАЛЛЕЛИЗМ ПСИХОФИЗИЧЕСКИЙ Анализ парадокса гетерологичности состоит в доказательстве бессмысленности указанной выше формулы. С. Холден в трехзначной логике построил анализ парадоксов «Лжец» и гетерологичности (выражение называется гете-рологическим, если оно выражает свойство, которым оно не обладает). К числу семантических парадоксов относят и парадокс отношения именования. Его примером может служить ситуация, описываемая следующими высказываниями «Георг IV хотел знать, был ли автором «Веверлея» Скотт», «автор «Ве- верлея» тождествен со Скоттом». Очевидно, что высказывание «Георг IV хотел знать, был ли Скотт Скоттом» можно считать ложным. Решение этого парадокса рассмотрено Р. Карнапом в его книге «Значение и необходимость». Семантические парадоксы сыграли большую роль в развитии логики, т. к. необходимость их анализа привела к построению металогических средств и корректному определению предиката истинности для формализованных языков. Лит.: Tarski A. The Concept of Truth in Formalized Languages. — Tar- ski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Oxf., 1956; Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики. — В кн. Аналитическая философия: становление и развитие. М., 1998; Бонвар Д. А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления. — «Математический сборник», т. 4, вып. 2, 1938; Hallden S. The Logic of Nonsense. Uppsala, 1949; Карнап Р. Значение и необходимость. M., 1959. В. К. Финн

ПАРАЛЛЕЛИЗМ ПСИХОФИЗИЧЕСКИЙ - система представлений, согласно которой психические и физические процессы являются связанными так, что всякое изменение в одном из них непосредственно (непричинно) отражается в другом. Возникновение психофизического параллелизма обязано идеям Б. Спинозы, Г. В. Лейбница и др. философов и ученых. Отрицая причинную связь между психическими и физическими процессами, психофизический параллелизм допускает наличие между ними непричинной корреляции. Возникает вопрос: как возможна непричинная корреляция? Один из первых ответов на этот вопрос дал Лейбниц в своем учении о «предустановленной гармонии». С точки зрения Лейбница, Бог синхронизировал психические и физические процессы в момент создания мира. Однако, описывая физические процессы и состояния, мы допускаем, что события, имеющие место «позже», могут получить объяснение в терминах событий, имевших место «раньше». Возникает вопрос: можем ли мы сказать то же самое и относительно психических событий? С точки зрения «синхронного» подхода должно быть одно однозначное соответствие, согласно которому с любым физическим событием может быть сопоставлено некоторое психическое событие. Р. Декарт полагал, что разум всегда мыслит, следовательно, такое соответствие всегда должно иметь место. В противном случае для обоснования такого соответствия необходимо привлекать концепцию панпсихизма. С точки зрения «асинхронного» подхода нам не нужно допускать, что разум всегда мыслит, но следует допустить, что он функционирует как бы в изолированной системе, где всепоследующиессютоянияисобьттияобъяснимывпредьщу- щих состояниях и событиях. Однако обе версии «психофизического параллелизма» не являются удовлетворительными, поскольку противоречат фактам реальности: во-первых, разум не всегда мыслит (напр., в состоянии комы или глубокого сна), поэтому непонятно, что могут поставить в соответствие этим психическим состояниям в физическом мире сторонники «синхронного» подхода; во-вторых, разум не является изолированной системой, поэтому «асинхронный» подход также не дает удовлетворительного объяснения устойчивой корреляции. Идеи психофизического параллелизма содержательно близки т. н. двухаспектной теории (double-aspect theory). Ее возникновение связывается со взглядами Спинозы, согласно которому пагхическое и физическое суть просто различные «аспекты» того, что внутри самого себя неразличимо. Основная трудность данного подхода связана с необходимостью дать удовлетворительный ответ на вопрос: что является основой, объединяющей многие аспекты? Для Спинозы это была «обожествленная природа». Современные философы (П. Ф. Стросон и др.) в качестве такой основы называют «личность». По их мнению, «личность» есть такой тип реальности, который в одинаковой степени приложим как к физическим процессам и событиям, так и к психическим. Психофизический параллелизм через непричинную корреляцию имеет приложение и в современном естествознании. Так, парадоксы квантовой механики некоторыми авторами (Д. Бом и др.) напрямую связываются с существованием особого пси-поля, которое и обеспечивает специфическое поведение элементарных частиц. Классическим примером непричинной корреляции в физике может служить ЭПР-парадокс. Некоторые космологи (А. Линде и др.) склонны интерпретировать антропный космологический принцип не как следствие «телеологической программы», заложенной Богом во Вселенную, а как следствие непричинной корреляции. Слабым местом данного подхода является необходимость дать рациональное объяснение основания самой непричинной корреляции, не прибегая к помощи «предустановленной гармонии». Лит.: Лейбниц Г. В. Новая система природы и общения между субстанциями, а также о связи, существующей между душою и телом, — В кн.: Сочинения в 4 т., т. 1. М., 1982; Hqffding H. The Problems of Philosophy. N.Y., 1905. A. H. Павленко

ПАРАМ ИТЫ (санскр. paramita — совершенства) — иерар- хизация добродетелей и достижений адепта в буддизме. Во введении к палийскому собранию джатак сообщается о брахмане Сумедхе (будущий Будда), который обещал и себе, и своему учителю практиковать 10 добродетелей, ведущих к состоянию Будды. Среди них: 1) щедрость, 2) нравственное поведение в целом, 3) мироотвержение, 4) мудрость, 5) усердие, 6) воздержанность, 7) правдивость, 8) решительность, 9) сорадование, 10) равнодушие (Джатаки 1.19—28). В неканоническом буддизме стала исключительно популярной несколько иная схема парамит, разработанная в «Бодхисаттва-бхуми», «Махапраджняпарамита-шастре» (5 в.), «Бодхичарьяватаре» Шантидэвы (7 в.) и других текстах и маркирующая продвижение по «пути бодхисапипвы». Это — 1) щедрость (дана), 2) нравственное поведение в целом (шила), 3) терпение (кшан- ти), 4) усердие (вирья), 5) медитативная практика (дхьяна), 6) мудрость (праджня), 7) искусность в средствах обращения людей (упая), 8) верность обету (пранидхана), 9) могущество (бала), 10) истинное знание (джняна). Как видно из сравнения двух иерархий парамит, во второй больший удельный вес принадлежит внеэтическим добродетелям, связанным с успехом в медитации и достижением «сверхсил». Эти различия порождены установкой на ускоренный метод достиже-

196

ПАРАНАУКА ния «освобождения» в «пути бодхисаттвы». Различия между версиями учения о парамитах в каноническом и неканоническом буддизме не сводятся лишь к классификационным предпочтениям. В обоих случаях признаются и предписания, и альтруистический идеал, но различны «пропорции» этих двух компонентов, и если в первой версии акцент ставится на первом (ср. «талмудическая» калькуляция обетов), то во второй — на втором. Стремящийся «стать бодхисаттвой» может нарушить любые нравственные предписания, если «инсайт» подскажет ему, что так он надежнее переправит других через океан сансары. Лит.: DayalH. The Bodhisattva Doctrine in Buddhist Sanskrit Literature. L., 1932. В. К. Шохин

ПАРАНАУКА (греч. rapd — везде, около, вне) — термин, обозначающий многообразие сопутствующих науке идейно- теоретических учений и течений, существующих за ее пределами, но связанных с ней определенной общностью проблематики или методологии. Понятие паранауки сформулировано в рамках философии и социологии науки и фиксирует ряд результатов рефлексии о природе науки и ее взаимодействии с окружением, в частности стремление провести демаркационную линию между наукой и иными типами знания. Во-первых, в понятии паранауки отражается то обстоятельство, что содержание самой науки неоднородно и некоторые из ее элементов могут не укладываться в идеалы научной рациональности, соответствующие доминирующей теоретической парадигме. Тогда название паранауки может получить новая и еще не завоевавшая авторитета теория (космонавтика К. Э. Циолковского в нач. 20 в. или гелиобиология А Л. Чижевского), которая со временем имеет шанс войти в сферу «нормальной науки» (Т. Кун). Ее отличает отсутствие развитой теоретической схемы на фоне провозглашения новой научной картины мира, в результате чего теоретическая интерпретация эмпирического материала строится непосредственно на основе последней. Наряду с блестящими теоретическими гипотезами в ней присутствует опора на

непроверенные факты, противоречивость логических построений, неразработанность вспомогательных теорий или практических приложений. Название паранауки нередко получают и устаревшие, деградировавшие научные теории, не учитывающие многочисленных опровержений и новых научных данных. В подобных случаях паранаука тождественна понятиям «альтернативной» или «девиантной» наук. Во-вторых, понятие паранауки фиксирует то, что идеалы научной рациональности не обязательны также и для целого ряда иных видов познания (практического и практически-духовного освоения мира, в частности). Некоторые практические традиции, порой намеренно демонстрируя оппозиционность к науке, выступают в форме «народных наук» («органическая агрикультура» Р. Штейнера, народная медицина, народная архитектура, народная педагогика, народная метеорология и синоптика и пр.). «Народные науки» обычно представляют собой концентрированное выражение практического и обыденного опыта, приспособленное к традиционным условиям жизни. «Народные науки» могут органически дополнять науку и технологию или даже заменять их при определенных обстоятельствах (народная медицина в эпоху «культурной революции» в Китае). Нередко они содержат знания, дающие позитивный импульс развитию науки и техники (форма поморского коча была использована при проектировании первых ледоколов). Вместе с тем превознесение результатов «народной науки» приводит к ее деградации (противопоставление мичуринской опытной селекции научной генетике). В последнем случае велик шанс превращения «народной науки» в псевдонауку. В США, напр., широко распространено присвоение имени «наука» (science) всякой системе знания, оформленной в школьную или университетскую специальность. Возникает широкий спектр «сельскохозяйственных наук», «семейных наук», «кулинарных наук», «музыкальных наук», «спортивных наук» и пр. Эти дисциплины учат полезным знаниям и навыкам, но не содержат системы идеальных объектов, процедур научного объяснения и предсказания и потому не поднимаются выше систематизированного и дидактически оформленного опыта, оставаясь прикладными руководствами по различной тематике. Др. вид псевдонаук представляет собой околонаучная публицистика, спекулирующая на имеющей громкое общественное звучание или, напротив, таинственной тематике. Такова «уфология», или «наука об НЛО» (UFO — английская аббревиатура «неопознанных летающих объектов»), содержащая фантастические гипотезы и массу малодостоверных фактов. Здесь и исследования паранормальных феноменов (парапсихология, теория биоритмов, биоэнергетика и т. п.), постулирующие существо- ваниеособых, неизвестныхнауке субстанции и природных сил или преувеличивающие роль определенных природных закономерностей. Самостоятельный тип паранаук представляют собой «оккультные науки» (алхимия, астрология, френология, геомантия, хиромантия, физиогномика, толкование сновидений). В каждой из них существует свое теоретико-подобное учение, основанное на вере в сверхъестественное, и выдвигаются амбициозные претензии на чрезвычайную эффективность практических приложений. «Оккультные науки» опираются на натурфилософские теории и древние мифы, народный опыт и некоторые научные факты и методы, направляя все это синкретическое единство на то, чтобы «предсказывать судьбу» и способствовать ее оптимальному развертыванию. Деятели таких наук создают академии и университеты, присуждают и получают ученые степени и звания, открывают журналы, тщательно имитируя структуру науки и научного образования, и в то же время критикуют науку за догматизм и сциентизм. Именно для таких паранаук типично выдвижение претензий на статус науки в целях обеспечения себе более благоприятных социальных условий. Паранауки нередко бывают связаны со всякого рода оппозиционными или маргинальными общественными движениями, политическим радикализмом и т. п. Адепты и сторонники таких паранаук избегают присущей науке самокритики, культивируют фанатизм, сектантство, идеологическую пропаганду, популистскую риторику, не чужды стремления к политической власти или влиянию. Значение паранауки не только в том, что они удовлетворяют духовные потребности невежественных людей. Паранаука в ее современном виде — естественный спутник науки и вместе с тем вызов ей в условиях демократического общественного устройства, когда наука вынуждена вести диалог с другими социокультурными системами и не может окончательно устранить оппонентов. Лит.: Волькенштейн М. В. О феномене псевдонауки. — «Природа», 1983, № 11 ; Заблуждающийся разум. Многообразие вненаучного знания. М., 1990; Касавин И. Т. Познание в мире традиций. М., 1990;

197

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ МигдалА. Поиски истины. М., 1983; Фшатов В. П. Научное познание и мир человека. М., 1989; Philosophy of Science and the Occult. Albany, 1982; Radner D., Radner M. Science and Unreason. Belmont, 1982; Velikovsky I Worlds in Collision. L., 1950. И. Т. Касавин

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ логика (греч. пара - возле, вне) — класс логических исчислений, в которых логический принцип «из противоречия следует все, что угодно», не имеет места. Термин «паранепротиворечивая логика» введен в 1976 перуанским философом Ф. Миро-Квисада. Строгое определение паранепротиворечивой логики связано с характеристикой отношения логического следования (см. Следование логическое), Его можно назвать черезмерным (explosive), если оно удовлетворяет условию, что для любых формул А и В, из А и не-А следует произвольная формула В (символически: {А,-А}|—В). Классическая логика (см. Логика высказываний, Логика предикатов), интуиционистская логика, многозначные логики Лукасевича и большинство других стандартных логик являются черезмерными. Логика называется паранепротиворечивой логикой тогда и тол ько тогда (т. т. т.), когда ее отношение логического следования не является черезмерным. Стимулом для появления паранепротиворечивой логики была потребность в разработке противоречивых, но нетривиальных теорий. Теория называется тривиальной, если множество ее теорем совпадает со множеством ее формул; в противном случае теория называется нетривиальной. Стандартные системы логики не отделяют понятия противоречивости от понятия тривиальности, т. е. противоречие в теории ведет к ее тривиальности. Отсюда еще одно определение паранепротиворечивой логики несколько менее общее, чем предыдущее: логика называется паранепротиворечивой, если она может быть положена в основу противоречивых, но нетривиальных теорий. Именно такое определение впервые в литературе дано польским логиком С. Яськовским (1948) и независимо бразильским логиком Н. С. А. да Костой (1963). Иногда используется еще один критерий паранепротиворечивости (критерий Яськовского) для логических исчислений с правилом вывода modus ponens; в таких системах не должен иметь места закон Дунса Скотта A z> (-АэВ). Т. о., паранепротиворечивая логика позволяет «локализовать» действие противоречия в том смысле, что наличие в теории противоречия не ведет последнюю к разрушению, что в известном смысле является реализацией тезиса о неуниверсальности непротиворечия закона. Вопрос о том, противоречив наш мир или нет, является весьма непростым, тем не менее на протяжении всей истории западной философии находились мыслители, которые настаивали на положительном ответе, начиная уже с досократиков, включая Гераклита. Конечно, наиболее яркой фигурой в этом отношении является Г Гегель. В последнее время все большее внимание привлекает онтология А. Мейнонга (1908), где утверждается существование противоречивых объектов, и все чаще приводится высказывание Л. Витгенштейна (1930), что наступит время, когда начнутся математические исследования исчислений, содержащих противоречия, и люди будут гордиться тем, что освободились от непротиворечивости. Признание того, что существуют истинные противоречия, т. е. имеются утверждения А такие, что вместе А и -А истинны, получило название концепции «диалетизма» (dialetheism). Термин введен в 1981 Г. Пристом и Р. Роутли, и сама концепция в последнее время усиленно развивается Пристом. Наличие противоречивых, но нетривиальных теорий и концепция диалетизма являются философской основой для изучения паранепротиворечивости. Примерами таких теорий является наивная теория множеств с парадоксом Рассела, классическая теория истинности, порождающая семантические парадоксы типа «Лжец». Примеры противоречивых, но нетривиальных теорий можно найти в истории науки: аристотелевская теория движения, первоначальное исчисление бесконечно малых, теория атома Бора и т. д. Интересные примеры имеются в юриспруденции, в частности различные билли о правах и тексты конституций. Противоречивой является теология (парадокс всемогущества). Также неоспоримым фактом является то, что большинство людей, не осознавая этого, имеют противоречивые убеждения (верования). Вообще, по-видимому, имеет веские основания тезис, что любая достаточно сложная и интересная философия будет противоречивой. Подробно о философском значении паранепротиворечивости и обширнейшую литературу по этой теме можно найти в фундаментальном труде «Паранепротиворечивая логика. Эссе о противоречивости» (Paraconsistent logic: Essays on the inconsistent. Munch., 1989). Концепция диалетизма требует применения паранепротиворечивой логики для рассуждения о противоречивой, но истинной теории. На возможность построения логик без закона непротиворечия впервые одновременно ( 1910) и независимо друг от друга указали русский логик Н. А. Васильев и польский логик ЯнЛу- касевич. Первый из них предложил модифицировать аристотелевскую силлогистику за счет новой формы: S есть Р и не-Р; Лукасевич же подверг серьезной критике все формулировки закона непротиворечия у Аристотеля. Существуют различные способы опровержения и ограничения принципа «из противоречия следует все, что угодно». Отсюда и большое разнообразие самих паранепротиворечивых логик, которых на самом деле бесконечно много. Вот, к примеру, четыре основных подхода к конструированию пропозициональных паранепротиворечивых логик (предикатные их варианты являются их непосредственным расширением). 1. Дискуссивные (дискурсивные) паранепротиворечивые логики. Дискуссивная логика является исторически первой. Ее построил С. Яськовский (1948), обозначив посредством D2. Как следует из названия, эта логика предназначена для выявления логики дискуссии, в которой участники могут иметь противоречивые мнения. Яськовский определяет эту логику посредством подходящей интерпретации в модальной логике Люиса S5 (см. Модальные логики). Дискуссивная логика является паранепротиворечивой, поскольку мы можем подобрать такую интерпретацию в S5, что 0А и 0-А имеют место, но не 0В. Для того чтобы проходило правило modus ponens, Яськовский определяет дискуссивную интерпретацию импликации z> d: Az> d В = 0 A z) В. Примечательной особенностью такой логики является то, что в ней не имеет места правило введения конъюнкции {А, В} |— А & В. Поэтому зачастую такие логики называются не-адъюнктивными (non-adjunctive). Дис- куссивным логикам посвящена большая литература, и есть различные обобщения данного подхода. Более того, в 1984 было показано, что дискуссивную логику в духе Яськовского можно построить во всякой нормальной модальной логике. 2. Релевантные логики. По своей мотивации и развитию релевантные логики являются одним из классов паранепротиворечивой логики. Уже в силу критерия релевантности, сформулированного А. Белнапом в 1960, следует, что в релевантной пропозициональной логике доказуема не каждая форму-

198

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ла, главный знак которой — релевантная импликация —>, а антецедент противоречив, т. е., напр., недоказуема формула (А & -А) -> В. Существуют различные семантические подходы, показывающие паранепротиворечивость релевантных логик. Наиболее известной семантикой для релевантных является возможных миров семантика с тернарным отношением, развитая Р. Роутли и Р. Мейером в 1973 г. Конъюнкция и дизъюнкция (см. Логические связки) для таких логик ведут себя обычным образом. Однако наиболее важным с точки зрения паранепротиворечивой логики является рассмотрение отрицания. С каждым миром w ассоциируется мир w*, так что w** = w*. Истинностные условия для -А следующие: -А истинно в w т. т. т., когда А ложно не в w, а в w*. T. о., если А истинно в w, но ложно в w*, (А & -А) истинно в w. Ясно, что отрицание здесь является интенсиональным оператором. Тернарное отношение требуется при определении истинностных условий для релевантной импликации. Однако уже имеются различные упрощения первоначальной тернарной семантики возможных миров, данные Г. Пристом, Р. Силваном и Г. Ресталлом посредством разделения множества возможных миров на нормальные и ненормальные. Как и в случае с модальными логиками, различные ограничения на отношение достижимости между мирами дают различные релевантные, а следовательно, паранепротиворечивые логики. 3. Многозначные логики. Наиболее простой и наглядный способ конструирования паранепротиворечивости является тот, когда к двум классическим истинностным значениям 1 (истина) и 0 (ложь) добавляется третье истинностное значение S, интерпретируемое разными авторами как «антиномич- но», «парадоксально», «противоречиво». Приняв в качестве выделенных истинностных значений 1 и S и взяв S в качестве неподвижной точки, что позволяет определить отрицание как -i(S) = S, имеем случай, когда (р & -р) принимает выделенное значение. Очевидно, что эти логики, как и классическая, являются истинностно-функциональными. Не представляет труда сконструировать такие трехзначные логические матрицы, в которых правило modus ponens имеет место, а закон Дунса Скотта нет. 4. Не-истинностно-функциональный подход. Опишем класс паранепротиворечивых логик, который наиболее широко известен и интенсивно исследуется со времени их появления. Основная идея здесь состоит в том, что берется полный позитивный фрагмент интуиционистской или классической логики и не-истинностно-функциональным образом определяется отрицание. В 1963 Н. да Коста построил бесконечную последовательность паранепротиворечивых логик, наименьшей из которых является Cw. К позитивному фрагменту интуиционистской логики добавляются следующие истинностные условия для отрицания: (I) если v(A) = 0, то v(-A) = 1 (II) если v(A) = 1, то v(-t-iA) = 1, где V есть функция оценки формул на множестве классических истинностных значений {0,1}. Тогда для аксиоматизации Cw нужно к полной системе позитивной интуиционистской логики с единственным правилом вывода modus ponens добавить следующие две аксиомные схемы: Av-A и -nA z> А. Добавляя другие истинностные условия, можно получить иерархию систем да Косты Cn (1< n < w). Каждая логика Сп обладает следующими свойствами: 1) закон непротиворечия -.(А & -А) не является тавтологией. 2) из А и -А нельзя в общем случае дедуцировать произвольную формулу В. 3) каждая Сп является бесконечнозначной логикой (см. Многозначные логики). В свою очередь Д. Батенс (1980) берет позитивный фрагмент классической пропозициональной логики и определяет отрицание условием (i). Тогда аксиоматизация получается посредством добавления к данному фрагменту только схемы аксиом Av-A Заметим, что конверсия условия (i) дает нам классическую логику. Основная проблема, как видим, заключается в определении операции отрицания. Как да Коста (и его школа, в особенности в последующих работах), так и Батенс пытаются определить отрицание максимально приближенно к классическому, но в то же время, чтобы оно было паранепротиворечивым. Дело в том, что истинность А и -А ставит вопрос о том, чем на самом деле является паранепротиворечивое отрицание? Эта проблема активно обсуждается в последнее время, что ставит вопрос о философском и логическом статусе отрицания вообще и более того — о статусе самой паранепротиворечивой логики, поскольку для некоторых из них (в определенном выше смысле) имеют место следующие выводимое ти: {А, -А} |- -.В или {-А, -и-пА} |- В. Возросший интерес в последние годы к паранепротиворечивым логикам (в 1997 в Бельгии прошел посвященный им 1-й Международный конгресс) объясняется многочисленными применениями и приложениями последних. Наиболее важным применением является исследование возможно противоречивых теорий. В первую очередь это относится к формальной семантике и теории множеств. Уже построен целый ряд пара- непротиворечивых теорий множеств, в которых расселовское множество существует. Более того, если формализованную арифметику строить на основе паранепротиворечивой логики, то истинное Геделево предложение может быть доказуемо вопреки результату Геделя (первая теорема о неполноте). Пара- непротиворечивая логика имеет применение в естественных и социальных науках, в квантовой механике, в вероятностных и индуктивных рассуждениях, в теории нечетких понятий, в деонтической логике (моральные дилеммы), в доксатической логике (системы полагания). Особенно важно применение пара- непротиворечивой логики в компьютерных науках, где возникает задача логической обработки противоречивой информации, напр, поступающей из различных источников. Лит.: Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру. — В кн.: Бел- напН., Стил Г. Логика вопросов и ответов. М., 1981; ИшмуратовА. Т., Карпенко А. С, Попов В. М. О паранепротиворечивой логике. — В кн.: Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М., 1989; Розоноэр Л. И. О семантике противоречивых формальных теорий. — «Семиотика и информатика», 1993, вып. 33; Arruda A. I. A survey of paraconsistent logic— Mathematical logic in Latin America. Dordrecht, 1980; Batens D. Paraconsistent extensional prepositional logics. — «Logique et Analyse», 1980, v. 23; da Costa N. С А. On the theory of inconsisten formal system. — «Notre Dame Journal of Formal Logic», 1974, v. 15; da Costa N. C. A., Marconi D. An overview of paraconsisten logic in the 80's. — «The Journal of Non-Classical Logic», 1989, v. 6; da Costa N. С A., Bezian J.-Y., Otavio A. S. B. Aspects of paraconsistent logic— «Bulletin of IGPL», 1995, v. 3; Jaskowski S. Prepositional calculus for contradictory deductive systems. — «Studia Logica». 1969, v. 24; Priest G. In contradiction: A study of the transconsistent. Dordrecht, 1987; RescherN, Brandom R. The logic of inconsistency. Oxf.—Blackwell, 1980; Restall G. Simplified semantics for relevant logics (and some of their rivals). — «Journal of Philosophical Logic», 1993, v.22. А. С. Карпенко