О границах науки
Шрифт:
Однако претензии автора теории множеств идут гораздо дальше. Он не только перестраивает всю математику, ставя все на фундамент теории множеств, но мечтает аналогичным образом перестроить и все естествознание. Главным инструментом здесь должно было быть понятие n-кратно упорядоченного множества. Например, любую группу людей можно рассматривать как 3-кратно упорядоченное множество: по росту, по весу, по возрасту. В каждом из трех возможных упорядочений множество будет просто упорядоченным. В 1884 году в письме к С. Ковалевской Кантор пишет: «Существуют также типы дважды, трижды, n-кратно и даже -кратно etc. (причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве) упорядоченных множеств, благодаря которым, как кажется, на старые и новые вопросы арифметики и космологии может быть пролито много света. Все, что я называю порядковыми типами, имеет в той же степени арифметический, как и геометрический характер, последний именно в случае типов кратно упорядоченных множеств. В то время как декартовски – ньтоновско – лейбницевский метод применяется при условии ограничения феноменов природы, я уже многие годы держусь того мнения, что у нас все еще отсутствует соответствующее строго математическое вспомогательное средство, с помощью которого было бы возможно в определенной мере войти внутрь природных процессов с целью тщательного рассмотрения их не извне, а изнутри, чтобы потом дать их более точное, чем прежде, описание…» [41] . Для применения теории множеств нужно представить материю состоящей из однородных элементов. Кантор называет их вслед за Лейбницем единицами, или монадами. Однако, в отличие от Лейбница, никакой духовной жизни у этих монад не предполагается. Из этих однородных монад – элементов Кантор хочет получить физические, химические, а, возможно, и биологические свойства веществ, применяя исключительно конструкции своей теории множеств. Например, в соответствии с физикой своего времени он рассматривает два типа материи: телесную и эфирную. «С этой точки зрения в качестве первого вопроса, до которого, однако, не додумались ни Лейбниц, ни более поздние ученые, возникает такой: какие мощности соответствуют этим двум материям в отношении их элементов, когда
41
Georg Cantor to Sophie Kowalevski. Dec. 7, 1884 // Danben J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Harvard University Press. Cambrige. L. 1979. P. 310–311.
42
О различных теоремах из теории точечных множеств. Сообщение второе. С. 168 // Кантор Г. Труды по теории множеств. Отв. ред. А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. М., 1985.
Даже внутри математики (и логики) теория множеств столкнулась с серьезными препятствиями. Континуум-гипотеза не была доказана. В лице аксиомы-выбора выступило еще одно утверждение, которое нельзя было ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств стандартного типа. Эта аксиома была необходима для доказательства многих важных положений математического анализа. Замена ее на другую приводила к построению довольно экзотических математик. Обнаружилось, что отнюдь не любые множества можно рассматривать в теории множеств («парадокс Рассела»). Все это заставило гораздо строже относиться к построениям с бесконечными множествами, чем это мыслилось в «наивной теории множеств» времен Кантора, и вводить здесь соответствующие ограничения. Тем не менее все здание математики было в XX веке поставлено на фундамент теории множеств. Каждая теория была интерпретирована как некоторая структура на бескачественном множестве. Систематически это было проделано группой французских математиков, которые под псевдонимом «Н. Бурбаки» начали с 40-х годов издание серии книг «Трактат по математике», с единой точки зрения представляющих все главные направления этой науки. И первым томом этой серии была как раз книга, посвященная теории множеств. Теория множеств стала в XX веке основным языком математики. Как сказал, обсуждая апории теории множеств, один из крупнейших математиков XX века Д. Гильберт: «Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор» [43] .
43
О бесконечном. С. 350 // Тшъберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948.
Теория множеств, претендующая, так сказать, на то, чтобы «пересчитать» все точки континуума и тем самым как бы сложить континуум из точек, была самым радикальным выражением пафоса дискретности в науке. На рубеже XIX–XX веков идея дискретности становилась все более популярной. Интересно, что одним из страстных пропагандистов этой идеи был профессор Московского университета Н. В. Бугаев. Он был не только известным математиком, но и регулярно проводил занятия философско-математического кружка, который пропагандировал определенную научно-философскую идеологию. Суть ее не раз излагалась Бугаевым в публичных лекциях. Так, в докладе «Математика и научно-философское мировоззрение» он настойчиво доказывал, что принцип непрерывности, ведущий к использованию в естествознании только аналитических функций, явно недостаточен как универсальный методологический принцип науки. Учение о функциях непрерывных должно обязательно быть дополнено учением о разрывных функциях – аритмологией. «Присматриваясь к явлениям природы, мы скоро подмечаем такие факты, которые не могут быть объяснены с точки зрения одной непрерывности. Нет простых тел всякой [то есть любой. – В. К.] плотности. Каждое простое тело есть самостоятельный химический индивидуум. Рассматривая сложные химические тела, мы также обнаруживаем, что они образуются из элементов, вступающих в химические соединения только в определенных пропорциях… Атомистические теории химии ясно указывают на индивидуальные особенности в строении вещества… Из акустики мы знаем, что только определенное сочетание звуков производит эстетическое впечатление. Музыкальное чередование звуков имеет вполне аритмологический характер. В биологии клеточное строение органических тел указывает на важную роль биологических индивидуумов в явлениях жизни. Явления сознания также представляют много сторон, не подчиняющихся аналитическому взгляду на природу. В социологии человек есть самостоятельный социальный элемент, и непрерывность неприменима к объяснению многих общественных явлений. Одним словом, существует много случаев, в которых обнаруживается прерывность в ходе и в самом развитии общественных событий» [44] . Идеи Бугаева глубоко воспринял и развивал П. А. Флоренский, учившийся в это время в МГУ Идеи прерывности и пафос методов, направленных на изучение формы, заняли одно из центральных мест в творчестве (в дальнейшем) священника Павла Флоренского [45] . Пафос дискретности, прерывности имел для него, в частности, и религиозный смысл. Все существенное в религиозной сфере связано с прямым вмешательством Бога, происходит скачком, прерывно, не сводится к посюсторонней, причинной обусловленности прошлым, а телеологически направлено к будущему, к новой жизни…
44
Бугаев Н. В. Математика и научно-философское мировоззрение. Статью можно найти на сайте: http://www.wsewmeste,.ru/
45
См., например, работы: Об одной предпосылке мировоззрения // Свящ. Павел Флоренский. Сочинения в 4 томах. Т. 1. М., 1994. С. 70–78; Пифагоровы числа // Свящ. Павел Флоренский. Сочинения в 4 томах. Т. 2. М., 1996. С. 632–646.
Методологическая и одновременно онтологическая идея прерывности получила в XX веке серьезную поддержку в связи с квантовой механикой и изучением микромира. В отличие от классических представлений, было выяснено, что энергия излучается квантами, электронные состояния образуют дискретную последовательность уровней, разрабатывались концепции квантованного пространства – времени. Хотя одновременно наряду с этим у микрочастиц были обнаружены и волновые свойства, что привело к формулировке тезиса о корпускулярно-волновом дуализме. Вообще физика и математика естествознания начиная с XVII столетия развивались в удивительной генетической близости. Уже с самого начала, как обсуждали мы выше, понятия дифференциала и касательной были специально выработаны для выражения интуиции мгновенной скорости, скорости в точке. Эта связь математики и физики оставалась прочной и в дальнейшем. Теоретико-множественная перестройка математики в XX веке оказывала характерное влияние и на физику, причем к концу столетия это влияние стало явно усиливаться. В отечественной физике появилась теория физических структур Ю. И. Кулакова, которая, по признанию самого автора, представляет собой «бурбакизацию» физики. В аналогичном же направлении разрабатывает свою теорию бинарных физических структур и Ю. С. Владимиров. Несмотря на то что философские и методологические установки этих двух авторов различны – Кулаков ориентирован на Платона, Владимиров – больше на Аристотеля, для первого важна непрерывность, а второй может обойтись и без нее, – исходная точка их рассуждений общая: некоторая теоретико-множественная конструкция [46] .
46
См. работы: Кулаков Ю. И., Владимиров Ю. С, Карнаухов А. В. Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику. М., 1991; Владимиров Ю. С. Метафизика. М., 2002.
С идеологией дискретности связана и современная информационная техника. Первая механическая вычислительная машина была построена еще в XVII столетии Б. Паскалем. После с изобретением электронных ламп в 40-х годах XX века начинается постройка первых ЭВМ. Они, естественно, используют двоичную систему счисления (0,1), значение которой в деле алгоритмизации осознал еще Лейбниц («Адамов язык»). После Второй мировой войны в связи с прогрессом электроники начинается и ускоренное развитие электронных информационных устройств. Существенно, что вся эта техника – коммуникативная, вычислительная, аудио, видео – является цифровой, то есть использующей в качестве базисного бинарный алфавит (0,1). Все непрерывные функции в этой технике сводятся к ступенчатым, дискретным. Возможность подобного моделирования непрерывных процессов изучается целым отдельным направлением в математике, а возможность машинного моделирования – специальным отделом математической логики. С точки зрения этой технологии все процессы, все знание о мире в принципе может быть разложено в последовательность нулей и единиц, выражено одним линейным файлом, представлено в виде информации. Информация в этом смысле выступает как знание, доступное машинной обработке. Несмотря на головокружительные успехи цивилизации в этом направлении – решение задач распознавания образов, повышение скорости обработки информации, построение многофункциональных роботов, – идея превращения всего знания в информацию
5. Непрерывность
Недостатки идеологии дискретности как основной философско-методологической парадигмы осознавались всегда, но по мере прогресса научного знания критика этой доктрины становилась все более глубокой. Талантливое, почти гениальное выражение интуиции непрерывного и ее значение для познания было дано в книге французского философа А. Бергсона «Творческая эволюция» (1907). В ней автор разворачивает принципиальную критику современного физико-математического подхода к движению, игнорирующему саму сущность континуального. Время математическое и время реальное не соответствуют друг другу. «То, что будет совершаться в промежутке, то есть время реальное, не принимается во внимание и не может войти в расчет. Если математик заявляет, что он имеет дело с этим промежутком, то всегда он переносится в определенную точку, и в определенное время, то есть на границу известного времени t', и тогда упраздняется вопрос об интервале до t'. Если он делит интервал на бесконечно малые части, сообразуясь с дифференциалом dt, он этим просто выражает, что рассматривает ускорения и скорости, то есть числа, отвечающие за тенденции и позволяющие высчитывать состояния системы в данный момент; но всегда речь идет о данном моменте, я хочу этим сказать о моменте остановившемся, а не о времени, которое течет. Короче говоря, мир, которым оперирует математик, есть мир умирающий и возрождающийся каждое мгновение, тот мир, о котором думал Декарт, говоря о беспрерывном творении» [47] . Подобное понимание времени, подчеркивает Бергсон, неспособно схватить становление, эволюцию, происходящую во времени. Именно этот творческий характер времени игнорирует традиционная физико-математическая схема времени. Время в восприятии науки философ уподобляет кинематографу. Причем, согласно Бергсону, этот кинематографический модус восприятия времени залегает еще глубже, в общечеловеческом обыденном опыте. «Вместо того чтобы слиться с внутренним становлением вещей, мы становимся вне их и воспроизводим их становление искусственно. Мы схватываем почти мгновенные отпечатки с проходящей реальности, и так как эти отпечатки являются характерными для этой реальности, то нам достаточно нанизывать их вдоль абстрактного единообразного, невидимого становления, находящегося в глубине аппарата познания, для того чтобы подражать тому, что есть характерного в самом этом становлении. Восприятие, мышления, язык действуют таким образом. Идет ли дело в том, чтобы мыслить становление, или выразить его, или даже его воспринять, мы совершаем не иное что, как приводим в действие род внутреннего кинематографа. Резюмируя предшествующее, можно, таким образом, сказать, что механизм нашего обиходного познания имеет природу кинематографическую» [48] . По Бергсону, прерывность нашего восприятия времени обусловлена в конечном счете процессами нашего психо-физического приспособления к среде и к действию в ней. [49] Действие прерывно, поэтому и интеллект привыкает прерывно воспринимать время. Схватить же реальное время, время становления – для него Бергсон использует специальный термин la durie (фр., «длящееся») – возможно только с помощью интуиции.
47
Бергсон А. Творческая эволюция. М.; СПб., 1914. С. 20.
48
Цит. соч. С. 273.
49
Бергсон исходно эволюционист, он признает происхождение человека в результате эволюции.
Это фундаментальное понятие реального времени, отличного от его математической схемы, позволяет философу выдвинуть для биологии проект, насколько я понимаю, не реализованный и по сегодня. Критикуя попытку биологической науки редукционистски разгадать загадку жизни, сведя ее к физико-химическим процессам, Бергсон предлагает иной путь. Моделью здесь является дифференциальное и интегральное исчисления, сводящее, так сказать, кривое к сумме (бесконечной) прямых [50] . «Мы полагаем, что если бы биология могла когда-нибудь так же близко подойти к своему предмету, как математика подошла к своему, она сделалась бы относительно физико-химии органических тел тем же, чем современная математика относительно древней. Чисто поверхностные перемещения масс и молекул, изучаемые физикой и химией, сделались бы по отношению к жизненному движению, совершающемуся внутри и являющемуся уже трансформацией, а не перемещением, тем же, чем является остановка подвижного тела к движению этого тела в пространстве. И поскольку мы можем это предчувствовать, прием, приводящий от определения известного жизненного акта к системе физико-химических явлений, предполагаемых этим актом, был бы аналогичен той операции, путем которой переходят от функции к ее производной, от уравнения кривой (то есть от закона непрерывного движения, порождающего кривую) к уравнению касательной, дающей направление этой кривой в тот или иной момент ее движения. Подобная наука была бы механикой трансформации, относительно которой наша механика перемещений сделалась бы частностью, упрощением проекций в плане чистого количества» [51] . Бергсон желает во что бы то ни стало сохранить саму сущность живого и историю ее развития. Последняя, согласно философу, может быть выражена только через термины эволюции и трансформации, а всякие физико-химические объяснения здесь представляют собой лишь упрощения, уплощения, замену, так сказать, кривого прямым. Однако этот проект философа остался практически нереализованным. Развитие биологии пошло главным образом именно по пути молекулярной биологии.
50
См. выше. С. 18.
51
Цит. соч. С. 29.
Эволюционные идеи находят сегодня себе поддержку в теории самоорганизующихся систем (синергетика). Было обнаружено, что некоторые открытые (диссипативные) физические системы, находящиеся в неравновесном состоянии, ведут себя таким образом, что в отдельных их частях могут происходить процессы самоорганизации. Все это не противоречит второму началу термодинамики, а на самом деле обусловлено им, так как система является незамкнутой. Аналогичные процессы можно наблюдать и в сложных биологических системах (например, популяции бактерий): при их размножении в определенной среде возможны сценарии распределения бактерий самого разного рода, в частности и реализующие повышение организации («странные аттракторы»). Уравнения (нелинейные), описывающие эти системы, могут быть очень простыми, например [52] :
52
ChaOS and Complexity. Scientific Perspectives on Divine Action. Ed. R. J. Russell and ofhers. Vatikan City State, 1995. P. 49.
однако пути поведения системы в будущем оказываются практически непредсказуемыми, так велико многообразие возможных аттракторов и их качественная разнородность. Все это подталкивает некоторых нетерпеливых авторов утверждать, что и само возникновение жизни из неживой материи происходило именно подобным образом. Хотя эта идея остается только лишь гипотезой, тем не менее этим пафосом исполнена, например, книга И. Пригожина и И. Стенгерс «Порядок из хаоса». Авторы соглашаются с критикой Бергсона того пути, по которому идет биология: «Как подчеркивал в начале нашего века Бергсон, и технологическая модель, и виталистическая идея о внутренней организующейся силе выражают неспособность воспринимать эволюционную организацию без непосредственного ее соотнесения с некоторой предсуществующей целью. И в наши дни, несмотря на впечатляющие успехи молекулярной биологии, концептуальная ситуация остается почти такой же, как в начале XX века: аргументация Бергсона в полной мере относится к таким метафорам, как „организатор“, „регулятор“ и „генетическая программа“» [53] . Однако, тем не менее, авторы настаивают на гипотезе спонтанного зарождения жизни: «Иное значение приобретает (и приводит к иным выводам) биология, если к ней подходить с позиций физики неравновесных процессов. Как теперь известно, и биосфера в целом, и ее различные компоненты, живые или не живые, существуют в сильно неравновесных условиях. В этом смысле жизнь, заведомо укладывающаяся в рамки естественного порядка, предстает перед нами как высшее проявление происходящих в природе процессов самоорганизации. Мы намерены пойти еще дальше и утверждаем, что, коль скоро условия для самоорганизации выполнены, жизнь становится столь же предсказуемой, как неустойчивость Бенара или падение свободно брошенного камня… Раннее зарождение жизни, несомненно, является аргументом в пользу идеи о том, что жизнь – результат спонтанной самоорганизации, происходящий при благоприятных условиях. Нельзя не признать, однако, что до количественных теорий нам еще очень далеко» [54] .
53
Пригожий И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М., 1986. С. 233.
54
Цит. соч. С. 234–235. О неустойчивости Бенара см. в этой же книге. С. 196.
Особую роль идеологии непрерывности пытался придать в своих трудах отечественный математик и философ В. В. Налимов. Он радикально переосмысливает традиционные подходы к логике. Аристотелевская логика для Налимова есть лишь дискретизация сферы смыслов. Последняя суть для ученого некоторая онтологическая реальность, имеющая непрерывный характер. Само понимание текста есть, по Налимову, всегда обращение к этой стихии «размытых» смыслов, поиск и конструирование в ней, которое всегда открыто и ситуативно. Исходя из традиционных теоретико-вероятностных схем, Налимов предлагает понимать любой текст (а им является любое сущее, предстоящее познающему сознанию) как определяемый некоторой плотностью вероятностей на континуальном смысловом пространстве. Герменевтические же процедуры переинтерпретации текстов суть для него введение новой функции условной вероятности, осуществляемой по известным формулам Байеса. Именно введение непрерывного континуума смыслов позволяет, по Налимову, приблизиться к научному пониманию герменевтических процедур, диалога, познания вообще [55] .
55
См. Налимов В. В. В поисках иных смыслов. М., 1993.