Политическая наука №2 / 2015. Познавательные возможности политической науки

Коллектив авторов

R(t+1)=(1-₁)R₁(t)x₁+(1-₂)R₂(t)x₂. (3).

Итак, математическая модель построена. Перейдем к ее анализу в случаях отсутствия и наличия ограничений, а также сравнению этих ситуаций в плане робастности

Рассмотрим сначала случай, когда ограничения на неравенство отсутствуют. Математический анализ (который мы опускаем) показывает, что тогда доля ресурса, получаемая более политически активным

актором, возрастает, приближаясь при t-> к 100%. Рассмотрим, будет ли при этом система эффективной.

Если система состоит из низкопродуктивного актора x₁ и высокопродуктивного актора x₂, т.е. 0<x₁<1<x₂, то получаем, что необходимое (но недостаточное) условие эффективности системы имеет вид ₁<₂. Другими словами, такая система может быть эффективной лишь в том случае, когда высокопродуктивный актор инвестирует в политику больше, чем низкоэффективный. Это условие является необходимым, но не достаточным.

Пусть оно выполнено. Тогда при достаточно больших значениях t имеем из формулы (3): R(t+1)=(1-₂)R(t)x₂, т.е. для эффективности должно быть выполнено неравенство ₂<1-1/x₂. Итак, необходимое и достаточное условие эффективности системы имеет вид:

Таким образом, при отсутствии ограничений на неравенство система эффективна, если выполнены два условия:

– высокопродуктивный актор вкладывает в борьбу за перераспределение больше ресурса, чем низкоэффективный;

– высокопродуктивный актор вкладывает в борьбу за перераспределение ресурса не настолько много, чтобы истощить производственный ресурс.

Чтобы ввести числовую меру робастности, рассмотрим введенное выше пространство политик (₁;₂).

Область ₁<₂ имеет вид большого треугольника выше диагональной линии на рис. 1. Область ₂<1-1/x₂ расположена ниже соответствующей горизонтальной прямой. Таким образом, область эффективных политик имеет вид малого (выделенного серым) треугольника.

Рис. 1.

Область эффективных политик при отсутствии ограничений на неравенство

Площадь этого треугольника примем в качестве числовой меры робастности, и числовое значение также будем называть робастностью.

Пусть, например, x₂=2. Это означает, что производство второго актора настолько эффективно, что на каждые 100 руб. производственных инвестиций он получает 200 руб. продукта. Тогда из неравенства (4) следует, что для эффективности системы необходимо, чтобы он тратил на политическую борьбу менее половины своего ресурса, т.е. ₂<1/2 (рис. 2, слева).

Если же x₂=1,25, то из неравенства (4) следует, что система эффективна, если высокопродуктивный актор тратит на политику менее 20% своего ресурса, т.е. ₂<1/5 (рис. 2, справа). Конечно, при этом он должен тратить больше, чем низкопродуктивный актор, т.е. ₂>₁.

Нетрудно вычислить, что в первом из рассмотренных случаев робастность равна 1/8=0,125, а во втором – 1/50=0,02.

Рис. 2.

Область эффективных политик при отсутствии ограничений на неравенство при x₂=2 и x₂=1,25

Перейдем к рассмотрению случая, когда в системе присутствует ограничение на неравенство. Не вдаваясь в математические подробности, укажем два важных отличия данного случая от рассмотренного в предыдущем подразделе. Во-первых, ограничения на неравенство позволяют системе быть эффективной даже в некоторых случаях, когда низкопродуктивный актор больше инвестирует в перераспределение и получает большую долю общественного ресурса. Это происходит, если производство высокопродуктивного актора оказывается способным компенсировать потери низкопродуктивного. Пусть, например, G₀=0,1, т.е. общественный ресурс не может быть поделен более неравномерно, чем 60 на 40%. И пусть x₁=0,5, x₂=2 (т.е. первый автор производит в два раза меньше продукта, чем он затратил на производство, а второй актор – в два раза больше). Если в начальный момент времени общественный ресурс составлял 100 руб., и низкопродуктивный актор победил в политической борьбе, то он получает из них 60 руб., которые при производстве «усыхают» до 30 руб. В то же время второй актор получает 40 руб. и приумножает их, произведя продукта на 80 руб. Тем самым в системе произведено 30 + 80 = 110 руб., и эта система является эффективной, если суммарные расходы акторов на борьбу между собой не превысят 10 руб. С введением ограничений на неравенство система приобретает некоторую робастность в случаях, когда высокоэффективный актор проигрывает борьбу за перераспределение общественного ресурса.

Во-вторых, увеличивается количество случаев, когда система оказывается неэффективной, при том что высокопродуктивный актор получает большую долю ресурса. Это происходит, если низкопродуктивный актор потеряет при производстве настолько много, что высокопродуктивный не сможет восполнить убыток (напомним: если ограничений на неравенство нет, то низкопродуктивный актор, проигравший борьбу за перераспределение, не может нанести ущерб системе, так как не получает ресурса вообще).

Таким образом, вводя ограничения на неравенство, мы увеличиваем робастность в одном месте, но уменьшаем в другом (рис. 3). Вопрос заключается в том, в какую сторону (большую или меньшую) изменяется робастность системы в целом. Для того чтобы прояснить данный вопрос, рассмотрим отдельно высокопродуктивные и низкопродуктивные системы.

Рис. 3.

При введении ограничений на неравенство (правый рисунок) робастность уменьшается выше диагональной линии, но может появиться также ниже этой линии

Выше мы пользовались такими понятиями, как низкопродуктивный (x<1) и высокопродуктивный (x>1) актор. Распространим эти понятия на системы (с некоторым усложнением).

Далее будем называть систему низкопродуктивной, если (x₁+x₂)/2<1.

Рассмотрим низкопродуктивную систему. Предположим, что в ней действует абсолютно эгалитарное правило: общественный ресурс делится между акторами поровну (независимо от инвестиций в борьбу за перераспределение). Очевидно, такая система не может быть эффективной, так как низкопродуктивный актор потеряет при производстве больше, чем приумножит второй.

Вычислительные эксперименты с построенной математической моделью показывают, что даже если распределение не является абсолютно эгалитарным, но все же достаточно жестко ограничивает неравенство, то низкопродуктивная система также не может быть эффективной. Например, для эксперимента, представленного на рис. 4, эффективных политик не существует при G₀<=0,15 (т.е. если общественный ресурс не может быть разделен более неравномерно, чем 65 на 35%). Таким образом, низкопродуктивная система является наиболее робастной при отсутствии ограничений на неравенство.